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1、理工大学暑期数学建模强化训练专题五露天采矿的最优方案学员：曹阳许佳利倪迪杭学院：通信工程学院时间：露天采矿的最优方案公司在一块一定面积的方形土地上露天采矿，需要建立一个模型以帮助决定采矿方案，使得公司获得最大的经济效益。本文针对采矿方案的优化问题，建立两个不同的数学模型，均找到了最优的采矿方案，为公司的决策提供切实有效的建议。模型1，运用“转移矩阵”，将两元（收入和费用）问题转化为一元（盈亏值）问题，大大简化了分析过程；模型2,建立一个399的三维矩阵M，将三个不同层长方形块的值的矩阵用同一个扩充矩阵来表示，结合0一1规划，考虑各层长方形块之间的联系，建立了单目标线性规划模型，并通过LINGO
2、软件的求解，得到了最优的采矿方案。通过模型1和模型2的求解，均找到了最优的采矿方案，使得收入与费用（即纯收入）之差最大，其值为1.75万元。具体的最优采矿方案见正文。关键词：转移矩阵，单目标线性规划，0-1规划，扩充矩阵1、背景、问题的提出某公司获准在一块200mx200m的方形土地上露天采矿。因为土石滑坡，控坑的坑边坡度不能陡于45。公司已得到不同位置不同深度处的矿砂所含纯金属的百分数的估计值。考虑到坡度角对挖坑工作所加限制，公司决定将问题作为长方形块的挖取问题加以处理。2、问题每个长方形水平尺寸为50mx50m,铅直尺寸为25m若在一个深度上挖了四块，则在下一层还可以挖一块；俯视这5块的水
3、平位置关系，将是如图1所示的情形（实线为上一层块，虚线为下一层块）。占*Kdrl*rs*iim八fl9（图1）这样一来，所能挖取的块数，第一层最多为16块，第二层最多为9块，第三层最多4块，第四层最多1块。不能再往深处挖取。所有这些可能挖取的块，按已得到的估计值，将各块含纯金属的百分数作为1.51.51.50.751.52.01.50.751.01.00.750.50.750.750.50.25块的值，这个块的值如下:第一层（地表层）4.04.02.03.03.01.02.02.00.5第二层（深25m）12.06.05.4.第三层（深50m）第四层（深75m）挖取费用随深度增加。第一层中各块
4、的挖取费用为0.3万元，第二层为0.6万元，第三层为0.8万元，第四层为1.0万元。挖取一块的收入同该块的值成正比；一个值为1的块可得收入为0.2万元。试建立一个模型以帮助决定挖取那些块，使得收入与费用之差为最大。、问题的分析题目的要求是通过建立数学模型制定最优挖掘方案，使得收入与费用之差为最大，即纯收入最大，这是一个典型的优化模型的问题。根据题目条件，只有在一个深度上挖了四块，才能在下一层再挖一块。最多的挖掘块数为第一层最多为16块，第二层最多为9块，第二层最多4块，第四层最多1块。可以逆向思维，若挖取第四层的那块长方形块，则必须挖取所有的长方形块。而若该公司采用这种挖取方案，则可以根据题目
5、中给出的各块长方形块的价值和挖取费用，计算出其总收入为710.2（万元），其总挖取费用为1640（万元），两者之差为-0.2万元，说明若采用这种挖取方案，该公司将损失0.2万元。按照常理考虑，公司采矿的目的是为了盈利，该公司不会采用这种挖取方案。所以，第四层的那块长方形块不挖取。因此，我们在考虑建立模型的时候，只需研究前三层的长方形块。三、模型假设1、该公司采矿的目的是为了盈利；2、按照公司采用的土块划分方法，不会导致土石滑坡四、模型的建立及求解1、符号说明A(i=1,2,3)各长方形块的价值矩阵R1,2,3转移矩阵三维扩充矩阵米矿的收入采矿的费用米矿的盈利2、模型建立2.1模型1:“转移矩阵
6、”模型模型的分析问题的分析中已经分析说明无论该公司采用何种方案采矿，都不会挖取第四层的那块长方形块，因此在研究最优采矿方案中只考虑前三层的长方形块。根据题目条件，挖取深层次的长方形块的前提是必须先挖取其前一层次相对应的长方形块。例如，若挖取第二层的第一块长方形块，则必须先挖取第一层的左上角的四块长方形块。因为深层次的长方形块具有是否挖取前一层次相对应的长方形块的权力，所以称深层的长方形块为“高层长方形块”。逆向思考，先确定高层长方形块的挖取是否能盈利，而后再确定低层长方形块是否挖取。模型的建立求解首先给各层的长方形块编号，其示意图分别如图2、图3和图4所示1234567891011121314
7、1516图2第一层123456789图3第二层1234图4第三层根据各块含纯金属的百分数作为块的值建立其价值矩阵为A(i=123)，i=1,2,3分别代表第一层、第二层和第三层的价值矩阵。根据题中给出的数据，得到：r1.51.51.52.01.51.50.750.75A,=(aj=片IJ忆41.01.00.750.5.750.750.50.25、A?厂(丿12.06.0、.5.04.0公司纯收入大于0时为盈利，小于0时为亏损。下面单独考虑每一个长方形块的盈利和亏损情况。根据题中条件，第一层中各块的挖取费用为0.3万元，第二层为0.6万元，第三层为0.8万元；而一个价值挖取一块的收入同该块的值成
8、正比，一个值为1的块可得收入为0.2万元。因此，可以根据每一个长方形块的盈亏情况，将每一个长方形的值转移为其盈亏情况，建立“转移矩阵”R(i=1,2,3),口即表示每一个长方形块的盈亏值，其计算公式为每一长方形块的值aij乘以0.2，减去每一层的挖取费。计算得到：000-0.1500.10-0.15P=(Pij44=-0.1-0.1-0.15-0.210.15-0.15-0.2-0.25?5.20.2-0.2、P2=(Pij】3=00-0.40.2-0.2-0.51.6P3二Pij220.20.4、0从矩阵P中可以观察到，第一层中只有第6块长方形块能够盈利，得到以下推论：1、在挖取多个层（二或
9、三）的长方形块的时候若要盈利，必须在“高层长方形块”选择盈利的长方形块（至少不亏损），否则必将亏损。2、在考虑同一层的长方形块时，挖取盈利的长方形块后，若挖取亏损的长方形块，则总盈利必将减少，甚至亏损。推论的证明（反证法）：推论1的证明：假设在挖取多个层（二或三）的长方形块的时候，挖取亏损的长方形块。第三层没有亏损的长方形块，故不用考虑。即在挖第二层的时候，挖取第3或第6或第7或第8或第9块长方形块，而其在第一层所相对应的长方形块的盈利值都是小于0的，故若在挖第二层的时候，挖取第3或第6或第7或第8或第9块长方形块，必将亏损。推论1证毕。推论2的证明：假设在考虑同一层的长方形块时，挖取盈利的长
10、方形块后，挖取亏损的长方形块。第三层没有亏损的长方形块，故也不用考虑。第一层的证明较简单，盈利的只有第6块长方形块，在挖取第6块之后，若在挖取其它任何一块亏损的长方形块，其总盈利必将减少。在证明第二层时，最大的盈利值仅为0.2，而最小的亏损值也为0,2，且亏损的长方形块在第一层所对应的长方形块的盈亏值都是小于0的，所以若挖取盈利的长方形块后，若挖取亏损的长方形块，则总盈利必将减少。推论2证毕。下面利用这两个推论，开始研究挖取方案。逆向思考，从第三层开始挖取。先考虑挖取一块的情况。例如挖取第三层第4块，则必须挖取第二层的第5、&8和9块长方形块以及第一层的第6、7、8、10、11、12、14、1
11、5和16块长方形块，则其盈亏值之和为-2.1万元。用同样的方法得到第三层各块长方形块的盈亏值如表1所示。表1第二层各块长方形块的盈亏值长方形块1234盈亏值（万元）1.75-0.65-0.95-2.1由表1容易得到，只有在挖取第1块长方形块的时候盈利，其他情况下都亏损，若第三层挖取两块、三块或四块时，根据推论2,其盈利值必然减少，故不用考虑。故若最优采矿方案中挖取第三层，则只挖取第1块，其收入为1.75万丿元。若最优采矿方案中第三层都不挖取，从第二层开始挖取，采用如上述同样的方法，则可得到第二层各块长方形块的盈亏值如表2所示。表2第二层各块长方形块的盈亏值长方形块123456789盈亏值（万元
12、）0.30.3-0.5-0.1-0.15-0.9-0.5-0.8-1.3由表2得到，第二层只挖取一块的方案能获得的最大收入为0.3万元。所以这种方案不是最优的。若第二层挖取两块，观察巳，只有第1和2块的盈利值大于0,其他长方形块都不盈利，必然挖取第11和12块，其盈亏值为0.5万元，亦不是最优方案；挖取三块或更多块的时候，由推论2其盈亏值都只会更小，故也无需考虑。若第二层也都不挖取，只挖取第一层的长方形块，显然只有挖取第22块会盈利，其值为0.1万元，亦不是最优方案。综上所述，挖取第三层第1块长方形块的时候，收入是最大的，其值为1.75万元。这就是纯收入最大的采矿方案，即该公司应该挖取第一层的
13、第1、2、3、5、67、9、10、11块，第二层的第1、2、4、5块和第三层的第1块长方形块时，收入与费用（即纯收入）之差最大，其值为1.75万元。2.2模型2:单目标线性规划模型模型的分析对于本题，一个较为简单的方法就是利用穷举法来实现，即利用计算机模拟出所有的挖取方案，然后求解出其收入和费用之差，最后确定挖取方案，但这种方法运算比较繁杂，容易出错。为此，根据题目的要求设计提出了一种可行的推算挖取方案的算法一一倒推法。（1）算法的思想根据题目中的条件，在挖取某一层中的一块时必须把上一层对应的四块全部挖取（第一层除外），根据这个条件，采取倒推的方法在算法中会相对容易实现，算法中用0-1矩阵来确
14、定对应块是否挖取，并通过各层之间的联系，算出各层的挖取方案，最终计算出收入与费用之差最大的挖取方案。（2）算法的基本步骤步骤1建立一个三维扩充矩阵M，其元素为m（k,i,j），k=1,2,3分别表示第一、二、三层，i,j分别表示各层各长方形块的坐标，m（k,i,j）表示各长方形块的值。同时建立一个三维0-1矩阵B，其元素为b(k,i,j)，如果b(k,i,j)=O表示第k层的坐标为(i,j)块不挖取，如b(k,i,j)=1则表示挖取。步骤2确定三维0-1矩阵b(k,i,j)的值。根据倒退法，如果挖取第k(k=2,3)层中的坐标为(i,j的长方形块，则它所对应的第k一1层坐标为(i-1j-1)i,(j1,i1),(-1,i1)的长方形块必须被挖取，即其三维0-1矩阵b(k,i,j)对应的值为1。步骤3根据步骤二中的0-1矩阵计算收入，其值为所有被挖取的长方形块的值m(k,i,j)乘以0.2后求和。步骤4根据步骤二中的0-1矩阵计算费用，其值等于所有被挖取的长方形块的挖取费用之和。步骤5求出收入与费用之差的最大值。模型的建立求解分析题中所设定的长方形块的水平位置关系，其俯视图为如图5所示的情形。0O0第一层o第层Oo0
