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1、第一讲 导数、定积分【知识要点】 1导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=。 如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f（x）或y|。即f（x）=。【说明】：（1）函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。（2）是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x处的导数的步骤（1）求函数的增量=f（x+）f（x）；（
2、2）求平均变化率=；（3）取极限，得导数f(x)=。2导数的几何意义 函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x）处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x）处的切线的斜率是f（x）。相应地，切线方程为yy=f/（x）（xx）。3常见函数的导出公式（1）（C为常数） （2） （3） （4） （5） （7） （8） （9） 4两个函数的和、差、积的求导法则【法则1】：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： (【法则2】：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：
3、若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： 【法则3】两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：=（v0）。【法则4】：形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解求导回代。：y|= y| u|5导数的应用（1）一般地，设函数在某个区间可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数；如果在某区间内恒有，则为常数；（2）曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；（3）一般地，在区间a，b上连续的函数f在a，b上必有最大值与最小值。求
4、函数在(a，b)内的极值； 求函数在区间端点的值(a)、(b)； 将函数 的各极值与(a)、(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。6定积分（1）概念设函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1xi1xixnb把区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上取任一点i（i1，2，n）作和式In(i)x（其中x为小区间长度），把n即x0时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作：，即(i)x。这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。基本的积分公式：C；C（mQ，
5、 m1）；dxlnC；C；C；sinxC；cosxC（表中C均为常数）。（2）定积分的性质（k为常数）； ；（其中acb。（3）定积分求曲边梯形面积由三条直线xa，xb（ab），x轴及一条曲线yf（x）(f(x)0)围成的曲边梯的面积。如果图形由曲线y1f1(x)，y2f2(x)（不妨设f1(x)f2(x)0），及直线xa，xb（a0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数；若（x）0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（x）0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.例5. 求下列函数的单调区间：（1）y x 42 x 25 （2）y 2 x 2ln x （3）y 【解】（3
6、） x x20， 0x 1则 y令y0，即12 x 0，x ，即函数的增区间为（0，）令y0，即12 x 0，x ，即函数的减区间为（，1）（2）ysin ln x x cos ln x sin（ln x ）令y0，解得：例6 (06重庆)设函数的图像与直线相切于点。（）求的值；（）讨论函数的单调性。解：（）求导得。由于 的图像与直线相切于点，所以，即： 解得: （）由得：令f（x）0，解得 x-1或x3；又令f（x） 0，解得 -1x3.故当x（, -1）时，f(x)是增函数，当 x（3,）时，f(x)也是增函数，但当x（-1 ，3）时，f(x)是减函数.【课堂演练】1.函数y=x2（x3）
7、的减区间是（ ）A.（，0） B.（2，+） C.（0，2） D.（2，2）2. （2012辽宁）函数y=x2x的单调递减区间为（ ）【答案】BA.（1,1 B.（0,1 C. 1，+） D.（0，+）3函数在上是（ D ）.A单调增函数 B单调减函数C在上单调递增，在上单调递减；D在上单调递减，在上单调递增.4函数的单调递减区间是 （ C ）A（，+）B（，） C（0，） D（e，+）学5函数的单调递增区间是 6.若函数是R上的单调递增函数，则的取值范围是_解析:f（x）=3x2+2x+m.f（x）在R上是单调递增函数,f（x）0在R上恒成立，即3x2+2x+m0.由=443m0,得m.答案
8、:m7（05福建）已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（1，f（1）处的切线方程为. （）求函数的解析式；（）求函数的单调区间.解：（）由的图象经过P（0，2），知d=2，所以由在处的切线方程是，知故所求的解析式是 （）解得 当当故内是增函数，在内是减函数，在内是增函数.题型4：利用导数研究函数的极值（或最值）【知识梳理】1.若函数f（x）有导数，它的极值可在方程（x）=0的根处来考查，求函数y=f（x）的极值方法如下：（1）求导数（x）；（2）求方程（x）=0的根；（3）检查（x）在方程（x）=0的根的左右的值的符号，如果左负右正，那么函数y=f（x）在这个根处取得极小值；如果左正右负，
9、那么函数y=f（x）在这个根处取得极大值.2.设y=f（x）是一多项式函数，比较函数在闭区间a，b内所有的极值，以及f（a）和f（b），最大者为最大值，最小者为最小值.例7已知函数 （1）求的极值； （2）若函数的图象与函数=1的图象在区间上有公共点，求实数a的取值范围.解：（1）令当是增函数当是减函数（2）因为，所以， 所以的图象在上有公共点，等价于 解得 例8：（06江西）已知函数f（x）x3ax2bxc在x与x1时都取得极值 求a、b的值与函数f（x）的单调区间 若对x1，2，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围。解：（1）f（x）x3ax2bxc，f（x）3x22axb由f（），f（1）32ab0得a，b2f（x）3x2x2（3x2）（x1），函数f（x）的单调区间如下表：x（，）（，1）1（1，）f（x）00f（x）极大值极小值所以函数f（x）的递增区间是（，）与（1，），递减区间是（，1）（2）f（x）x3x22xc，x1，2，当x时，f（x）c为极大值，而f（2）2c，则f（2）2c为最大值。要使f（x）f（2）2c，解得c2【课堂演练】1.函数f（x）=x33x+1在闭区间3，0上的最大值、最小值分别是（ ）
