第一讲导数、定积分(2013教案)

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1、第一讲 导数、定积分【知识要点】 1导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量,那么函数y相应地有增量=f(x+)f(x),比值叫做函数y=f(x)在x到x+之间的平均变化率,即=。 如果当时,有极限,我们就说函数y=f(x)在点x处可导,并把这个极限叫做f(x)在点x处的导数,记作f(x)或y|。即f(x)=。【说明】:(1)函数f(x)在点x处可导,是指时,有极限。如果不存在极限,就说函数在点x处不可导,或说无导数。(2)是自变量x在x处的改变量,时,而是函数值的改变量,可以是零。 由导数的定义可知,求函数y=f(x)在点x处的导数的步骤(1)求函数的增量=f(x+)f(x);(

2、2)求平均变化率=;(3)取极限,得导数f(x)=。2导数的几何意义 函数y=f(x)在点x处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x,f(x)处的切线的斜率。也就是说,曲线y=f(x)在点p(x,f(x)处的切线的斜率是f(x)。相应地,切线方程为yy=f/(x)(xx)。3常见函数的导出公式(1)(C为常数) (2) (3) (4) (5) (7) (8) (9) 4两个函数的和、差、积的求导法则【法则1】:两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差), 即: (【法则2】:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数,即:

3、若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数: 【法则3】两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方:=(v0)。【法则4】:形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤:分解求导回代。:y|= y| u|5导数的应用(1)一般地,设函数在某个区间可导,如果,则为增函数;如果,则为减函数;如果在某区间内恒有,则为常数;(2)曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0;曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正;(3)一般地,在区间a,b上连续的函数f在a,b上必有最大值与最小值。求

4、函数在(a,b)内的极值; 求函数在区间端点的值(a)、(b); 将函数 的各极值与(a)、(b)比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值。6定积分(1)概念设函数f(x)在区间a,b上连续,用分点ax0x1xi1xixnb把区间a,b等分成n个小区间,在每个小区间xi1,xi上取任一点i(i1,2,n)作和式In(i)x(其中x为小区间长度),把n即x0时,和式In的极限叫做函数f(x)在区间a,b上的定积分,记作:,即(i)x。这里,a与b分别叫做积分下限与积分上限,区间a,b叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式。基本的积分公式:C;C(mQ,

5、 m1);dxlnC;C;C;sinxC;cosxC(表中C均为常数)。(2)定积分的性质(k为常数); ;(其中acb。(3)定积分求曲边梯形面积由三条直线xa,xb(ab),x轴及一条曲线yf(x)(f(x)0)围成的曲边梯的面积。如果图形由曲线y1f1(x),y2f2(x)(不妨设f1(x)f2(x)0),及直线xa,xb(a0在(a,b)上恒成立,则f(x)在(a,b)上是增函数;若(x)0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间;(x)0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.例5. 求下列函数的单调区间:(1)y x 42 x 25 (2)y 2 x 2ln x (3)y 【解】(3

6、) x x20, 0x 1则 y令y0,即12 x 0,x ,即函数的增区间为(0,)令y0,即12 x 0,x ,即函数的减区间为(,1)(2)ysin ln x x cos ln x sin(ln x )令y0,解得:例6 (06重庆)设函数的图像与直线相切于点。()求的值;()讨论函数的单调性。解:()求导得。由于 的图像与直线相切于点,所以,即: 解得: ()由得:令f(x)0,解得 x-1或x3;又令f(x) 0,解得 -1x3.故当x(, -1)时,f(x)是增函数,当 x(3,)时,f(x)也是增函数,但当x(-1 ,3)时,f(x)是减函数.【课堂演练】1.函数y=x2(x3)

7、的减区间是( )A.(,0) B.(2,+) C.(0,2) D.(2,2)2. (2012辽宁)函数y=x2x的单调递减区间为( )【答案】BA.(1,1 B.(0,1 C. 1,+) D.(0,+)3函数在上是( D ).A单调增函数 B单调减函数C在上单调递增,在上单调递减;D在上单调递减,在上单调递增.4函数的单调递减区间是 ( C )A(,+)B(,) C(0,) D(e,+)学5函数的单调递增区间是 6.若函数是R上的单调递增函数,则的取值范围是_解析:f(x)=3x2+2x+m.f(x)在R上是单调递增函数,f(x)0在R上恒成立,即3x2+2x+m0.由=443m0,得m.答案

8、:m7(05福建)已知函数的图象过点P(0,2),且在点M(1,f(1)处的切线方程为. ()求函数的解析式;()求函数的单调区间.解:()由的图象经过P(0,2),知d=2,所以由在处的切线方程是,知故所求的解析式是 ()解得 当当故内是增函数,在内是减函数,在内是增函数.题型4:利用导数研究函数的极值(或最值)【知识梳理】1.若函数f(x)有导数,它的极值可在方程(x)=0的根处来考查,求函数y=f(x)的极值方法如下:(1)求导数(x);(2)求方程(x)=0的根;(3)检查(x)在方程(x)=0的根的左右的值的符号,如果左负右正,那么函数y=f(x)在这个根处取得极小值;如果左正右负,

9、那么函数y=f(x)在这个根处取得极大值.2.设y=f(x)是一多项式函数,比较函数在闭区间a,b内所有的极值,以及f(a)和f(b),最大者为最大值,最小者为最小值.例7已知函数 (1)求的极值; (2)若函数的图象与函数=1的图象在区间上有公共点,求实数a的取值范围.解:(1)令当是增函数当是减函数(2)因为,所以, 所以的图象在上有公共点,等价于 解得 例8:(06江西)已知函数f(x)x3ax2bxc在x与x1时都取得极值 求a、b的值与函数f(x)的单调区间 若对x1,2,不等式f(x)c2恒成立,求c的取值范围。解:(1)f(x)x3ax2bxc,f(x)3x22axb由f(),f(1)32ab0得a,b2f(x)3x2x2(3x2)(x1),函数f(x)的单调区间如下表:x(,)(,1)1(1,)f(x)00f(x)极大值极小值所以函数f(x)的递增区间是(,)与(1,),递减区间是(,1)(2)f(x)x3x22xc,x1,2,当x时,f(x)c为极大值,而f(2)2c,则f(2)2c为最大值。要使f(x)f(2)2c,解得c2【课堂演练】1.函数f(x)=x33x+1在闭区间3,0上的最大值、最小值分别是( )

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