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1、第一章函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f(x) 2则K1函数f(x)在定义域上有下界，K1为下 界；如果有f(x)W, K2则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条 件是在定义域内既有上界又有下界。2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列xn不能同时收敛于两个不同的极 限。定理(收敛数列的有界性)如果数列xn收敛，那么数列xn定有界。如果数列 xn 无界，那么数列 xn 定发散；但如果数列 xn 有界，却不能断 定数列xn定收敛，例如数列1, -1, 1, -1, (-l)n+l该数列有界但是发散，所以数列有 界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。定理(收敛数列与其子
2、数列的关系)如果数列xn收敛于a,那么它的任一子数列也 收敛于a如果数列xn有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列xn是发散的， 如数列1,-1, 1,-1, (-l)n+l中子数列x2k-l收敛于1, xnk收敛于-1, xn却是发散 的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。3、函数的极限函数极限的定义中Ovlx-xOl表示xH xO,所以x一xO时f(x)有没有极 限与f(x)在点xO有没有定义无关。定理(极限的局部保号性)如果lim(x -x0)时f(x)=A,而且A0(或AvO),就存 在着点那 么xO的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)0(或f(x)0)，反之也 成立
3、。函数f(x)当 x-*xO时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且 相等， 即f(xO-O)=f(xO+O),若不相等则limf(x)不存在。般的说，如果lim(x 一 00 )f(x)=c,则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近 线。如D 果lim(x -*xO)f(x)= , 00则直线x=xO是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的 乘积是 无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷 小；定理如果 Fl(x)2F2(x),而 limF 1 (x)=a, limF2(x)=b,那么 a2b.
4、1. 夹逼准则如果数列xn、yn、zn满足下列条件：ynW xnW 且znlimyn=a, limzn=a,那么limxn=a，对于函数该准则也成立。 单调有界数列必有极限。6、函数的连续性设函数y=f(x)在点xO的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x-*xO 时的极限存在，且等于它在点xO处的函数值f(xO)，即 lim(x f xO)f(x)=f(xO),那么就称函数f(x)在点xO处连续。不连续情形：1、在点x=xO没有定义；2、虽在x=xO有定义但lim(x f xO)f(x)不存在；3、虽在 x=xO 有定义且 lim(x -* xO)f(x)存在，但 lim(x f xO)f(
5、x) H 时 f(xO)则称 函 数在 xO 处不连续或间断。如果xO是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称xO为函数f(x)的第 一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断 点)。非第一类间断 点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断 点)定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为 0)是个在该点连续的函 数。定理如果函数f(x)在区间lx上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对 应的区间 Iy=yly=f(x) ， x$Ix 上单调增加或减少且连续。反三角函数在 他们的定义域内 都是连续的。定理(最大值最小值定理)在闭区间上
6、连续的函数在该区间上一定有最大值和 最小 值。如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区 间上就不一 定有最大值和最小值。定理(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界，即mW f(x) W定M理(零点定理)设函数f(x)在闭区间a, b上连续，且f(a)与f(b)异号(即 f(a) X f(b)0),那么在开区间(a, b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点C (a E 1 0 等形式。5、 函数单调性的判定法设函数f(x)在闭区间Q, b上连续，在开区间(a, b)内可 导，那么：(1) 如果在(a, b)内f (x)0,那么函数f(x)在 La,
7、b上单调增加；(2) 如果在(a, b)内f (x)0 f(x)在 xO处取得极小值；驻点有可能是极值 点，不是驻点 也有可能是极值点。7、函数的凹凸性及其判定设f(x)在区间lx上连续，如果对任意两点xl, x2恒有 fI(xl+x2)/2vf(xl)+f(xl)/2 ,那么称f(x)在区间lx上图形是凹的；如果恒有f(x 1 +x2)/2f(x 1 )+f(x 1 )/2 ,那么称f(x)在区间lx上图形是凸的。定理设函数f(x)在闭区间d, b上连续，在开区间(a, b)内具有一阶和二阶导数，那么(1) 若在(a, b)内f (x)0,则f(x)在闭区间a, b上的图形是凹的；(2) 若
8、在(a, b)内f (x)0,则f(x)在闭区间a, b上的图形是凸的。判断曲线拐点(凹凸分界点)的步骤(1) 求出 f ； (x)(2) 令f (x)=0,解出这方程在区间(a, b)内的实根；对于中解出的每一个实根xO,检查f 在(x)0左右两侧邻近的符号，如果f在(x)0左右 两侧邻近分别保持疋的付号，那么当两侧的付号相反时，点(XO, f(xO)是拐点，当两侧 的符号相同时，点(XO, f(xO)不是拐点。在做函数图形的时候，如果函数有间断点或导数不存在的点，这些点也要 作为分 点。第四章不疋积分1、原函数存在定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数 F(x)，使
9、对任一XWI都有F (x)=f(x)；简单的说连续函数一定有原函数。分部积分发如果被积函数是幕函数和正余弦或幕函数和指数函数的乘积， 就可以考 虑用分部积分法，并设幕函数和指数函数为u,这样用一次分部积分法就 可以使幕函数的 幕降低次。如果被积函数是幕函数和对数函数或幕函数和 反三角函数的乘积，就可设 对数和反三角函数为u.2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数定存在，但原函数 不定 都是初等函数。第五章定积分1 、 定积分解决的典型问题(1) 曲边梯形的面积(2) 变速直线运动的路程2、函数可积的充分条件定理设f(x)在区间a, b上连续，则f(x)在区间a, b上 可积，即连续=
10、可积。定理设f(x)在区间a, b上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间a, b 可 积。3、定积分的若干重要性质如果在区间 a, b f(x) 20 则 j abf(x)dx 三0.推论如果在区间 La, d土 f(x)w g(x)则丿 abf(x)dx wj abg(x)dx 推论.If abf(x)dxl Wj ablf(x)ldx性质设.M及m分别是函数f(x)在区间La, b上的最大值和最小值， 则m(b-a) W j abf(x)dx W-a)M(b，该性质说明由被积函数在积分区间 上的最大值及最小值可 以估计积分值的大致范围。性质(定积分中值定理)如果函数f(x)在区间La, b上连续，则在积分区间Ld, b上 至少存在一个点C,使下式成立：j abf(x)dx=f( -a) 2。)(b4、关于广义积分设函数f(x)在区间La, b上除点c(avcvb)外连续，而在点c的邻域 内
