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1、202X届高三数学一轮复习强化训练精品矩阵与变换基础自测. .答案 2. = 答案 3.设a,b,若矩阵=把直线l：+y1=0变成为直线：x-2=，则a ，b 答案 2 -.先将平面图形作关于直线y=的反射变换,再将它的横坐标变为原来的2倍,纵坐标变为原来的三分之一,则整个变换可以用矩阵表示为 .答案 5.设=,B，若B=BA，则= .答案 3例1 已知变换T把平面上的点A(,0),B(3，）分别变换成点（2,）,(,2)，试求变换对应的矩阵解 设M=，则有M：=,解得；:=，解得综上，M=.例2 已知O(，0)，A（2,1),O,A，C依逆时针方向构成正方形的四个顶点（）求B,C两点的坐标;
2、（2）把正方形OC绕点A按顺时针方向旋转45得到正方形ABCO，求,，O三点的坐标解 （1）显然向量绕O点逆时针方向旋转90得向量,变换矩阵M=.所以有=，即(1,),点坐标是(1,2）.又+=（2,）+(-1,2）=（，3),所以点坐标是（1，3).(）变换矩阵是N=，=（-，-1),=(3，),=(-1,2）.=.即，(，2),AB=+=，点O的坐标是（),同理,点C的坐标是(2-,1+2)，点B的坐标是.例3 试从几何变换的角度求AB的逆矩阵.（）A=,=；()A=，.解 （)矩阵A对应的是伸压变换,它将平面内的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长为原来的2倍，因此它的逆矩阵是A-;同理,矩阵
3、对应的也是伸压变换，它将平面内的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的倍，因此它的逆矩阵是B=;所以（A)1=-1A-=（2）矩阵A对应的是反射变换,它将平面内的点变为该点关于直线-y=0的对称点,所以该变换的逆变换为其自身,A-=;矩阵B对应的也是反射变换，它将平面内的点变换为与其关于原点对称的点,所以B-1=；所以,（A）-1=B-1A1=例4 (14分)已知二阶矩阵M有特征值=8及对应的一个特征向量e=，并且矩阵M对应的变换将点(-,2)变换成（-2,4)(1)求矩阵M;(2）求矩阵M的另一个特征值及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系.解 (1)设=,则8,故 2分,故 4分联立以上
4、两方程组解得a,b2,c4，=4,故M 6分（2）由（1)知,矩阵M的特征多项式为f(）=（）(-4）-8-10+16,故其另一个特征值为=2. 分设矩阵M的另一个特征向量是e2=，则Me2=2,所以, 2分所以矩阵M的另一个特征值对应的特征向量的坐标之间的关系是2x+= 1分1.（202X南京质检）二阶矩阵M对应的变换将点（1，-）与（-2,1）分别变换成点（1,-1)与（0,）.(）求矩阵M；(2)设直线l在变换M作用下得到了直线m:-y4,求l的方程.解 （1）设，则有,所以,且,解得,所以M=.（2)因为=且m:xy=4，所以(+y）-(3x+4y)=4,整理得+y+2=0,所以直线l
5、的方程为x+2=0.将双曲线C:x2-y2=上点绕原点逆时针旋转45,得到新图形C,试求C的方程.解 由题意,得旋转变换矩阵M=，任意选取双曲线x-y2=1上的一点（x0,0)，它在变换T作用下变为P(0,y),则有M=，故,又因为点P在曲线x2-y2=1上，所以-=1,即有2=1所求的C方程为.（202徐州模拟)已知M（1）求逆矩阵M-1;（2）若矩阵X满足MX，试求矩阵X解 （)设M-1=,依题意有=即=,则M-=.（2）矩阵满足M，矩阵X=M-1=.4.（0X苏州信息卷)已知矩阵M，求的特征值及属于各特征值的一个特征向量解 由=(-3)2-1=0，解得1=2,24.设矩阵的特征向量为.当
6、1时，由=可得,可见，1=是M的属于1=2的特征向量.当2=4时,由=4可得,可见，2=是M的属于2的特征向量 一、填空题1.下列矩阵是二阶单位矩阵的是 . 答案 .将圆x2+y1在矩阵A对应的伸压变换下变成一个椭圆+=，则a+b= .答案 33.在矩阵对应的变换下,点（2,）将会转换成 .答案（2,5)4.若直线x-y-4=0在矩阵=对应的变换作用下，把自己变为自己，则a,b的值分别为 .答案 0,25.将点(2,）先经矩阵变换后，再绕原点逆时针旋转0角所得的点坐标为 .答案 （，）.将坐标平面上的一个图形先将其横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标变为原来的一半，然后对它做关于y轴对称的变换,再将
7、它做关于直线y对称的变换,则此平面变换所对应的二阶变换矩阵为 .答案 .若矩阵A把直线：2x-7变换成另一直线l:9x-9,则a= ,b= 答案 -18.矩阵M的所有特征向量为 .答案 k和，(k0)二、解答题9.试求曲线y=sinx在矩阵MN变换下的函数解析式，其中M，N=.解 MN，即在矩阵N变换下，则ysin2x,即曲线y=sinx在矩阵MN变换下的函数解析式为y=2i2x.1.已知二阶矩阵有特征值=8及对应的一个特征向量e1，并且矩阵对应的变换将点（,2）变换成（-2,4)求直线l:y+1=在矩阵M的变换下的直线l的方程.解 设，则=，故=,故联立以上两方程组解得a6,b=2,=4,4
8、,故M=.设点（x,）是直线l上的任一点，其在矩阵M的变换下对应的点的坐标为(x,y）,则=，即x=x-,y=-+y,代入直线l的方程后并化简得x-y20，即x+2=0所以变换后的直线方程为xy+=0.11.（2如东质检）已知矩阵A,其中R,若点P(1,1)在矩阵A的变换下得到点P(0,-3).（）求实数a的值；(2)求矩阵A的特征值及特征向量.解(1）由=得a+1=-3a=-4(2)由（1)知=则矩阵的特征多项式为f（)=(-）24=2-2-3令f（）=0,得矩阵A的特征值为1或3.设矩阵A的特征向量为当=1时，(-） 即,所以=x.矩阵A的属于特征值-的一个特征向量为当=3时，=,即,所以
9、2x+y=0.矩阵A的属于特征值3的一个特征向量为1.（202X江苏)在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x+2=1在矩阵A=对应的变换下得到曲线F，求F的方程.解 设P(x0，0）是椭圆上任意一点，点P（x0，y0)在矩阵对应的变换下变为点P(,）,则有=,即所以又因为点P在椭圆上，故4=1,从而(）2()2=所以曲线的方程为x+y2=1.13.已知矩阵A=,求特征值及特征向量.解 矩阵的特征多项式为f()=.令（)=0,即2-4-50,得1=-1， =,所以矩阵A的特征值为1=1, 2=5将1-代入二元一次方程组. 即,得=，它有无穷多个非零解,其中0,故为矩阵属于特征值-1的特征向量.同样,将5代入二元一次方程组,则得y=2x,它有无穷多个非零解,其中x0,故为矩阵属于特征值的特征向量.14.已知矩阵有特征值及对应的一个特征向量1，并有特征值2=-及对应的一个特征向量e2.（)求矩阵M;(2）求M2 002解 (1）设，则4=,故.又 =(-）,故.联立以上两个方程组，解得a,b=2,c=3，=，故M=.（2）M208e2=e2=(-1)2 .
