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1、宿州市2016年高三第一次教学质量检测数学试题（理科）本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟,祝各位考生考试顺利！第卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合,则集合等于 A. B. C. D.2.复数等于(其中是虚数单位) A. B. C. D.3.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则实数的值是 A.2 B. C. D.4.运行如图所示的程序框图,则输出的值是 A,3 B.2 C. D.5.设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是 A .若
2、,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则6.从中随机取一个数,从中随机取一个数,则关于的方程 有两个不相等的实数根的概率是 A. B. C. D.7.若实数满足条件,则目标函数的最大值为 A.16 B.12 C.11 D.98.函数的图象如图所示,为了得到函数的图象,只需把函数的图象 A.向右平移个长度单位 B.向左平移个长度单位C.向右平移个长度单位 D.向左平移个长度单位9.设函数在区间上的导函数为在区间上的导函数为,若在区间上恒成立,则称函数在区间上为“凹函数”,已知函数 在上为“凹函数”,则实数的取值范围是 A B. C. D.10.已知点为抛物线上任意一点,为坐标原点,点,若 恒成立
3、,则实数的取值范围是 A. B. C. D.11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积是 A. B. C. D. 12.已知函数,定义 (其中分别表示 中的较大者和较小者.记的最小值为的最大值为,则等于 A. B. C. D.第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置上.13.命题:“存在,使得”的否定是 14.在的二项展开式中,常数项是 (请用数字作答)15.已知平面内两点的坐标分别为是坐标原点,动点满足,则的最小值是 16.在中,三内角所对的边分别是,若且,则的面积的最大值是 三、解答题:本大题共6小题,共75分,
4、解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.本卷包括必考题和选考题两部分,第13题至第21题为必考题,每个考生都必须作答,第22题至第24题为选考题,考生根据要求作答.17(本小题满分12分)已知数列的前项和为,且.()求数列的通项公式;()记,求数列的前项和.18(本小题满分12分)一个盒子中装有大量形状大小一样但质量不尽相同的小球,从中随机抽取50个作为样本,称出它们的重量(单位:克)重量分组区间为,由此得到样本的重量频率分布直方图(如图)()求实数的值,并根据样本数据,估计盒子中小球质量的平均值;()从盒子中随机抽取3个小球,其中重量在的小球个数为,求的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作
5、为概率)19(本小题满分12分)在直三棱柱中,分别是的中点,为棱上的点.()证明:;()是否存在一点,使得平面与平面夹角的余弦值为若存在,请说明点的位置,若不存在,请说明理由.20(本小题满分12分)已知椭圆和椭圆的离心率相同,且点在椭圆上.()求椭圆的方程;()设为椭圆上一动点,过点作直线交椭圆于两点,且恰为弦的中点,试判断的面积是否为定值?若是,求出此定值,若不是,请说明理由.21(本小题满分12分)已知函数.()求函数的单调区间和最大值;()若两个不等正数满足,函数的导函数为,求证:.请考生在第22题,23题,24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.22(
6、本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲已知与圆相切于点,过点的直线交圆于两点,是圆上一点,且的延长线交于点.()求证:()若,求长.23(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴且在两坐标系中具有相同的长度单位建立极坐标系.已知某圆的极坐标方程为.()将该圆的极坐标方程化为普通方程;()若点在该圆上,求的最大值和最小值.24(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数()求不等式的解集;()若关于的不等式恒成立,求实数的取值范围.宿州市2016届高三第一次教学质量检测数学（理科）参考答案一、选择题: （本大题共12小题，每小题5
7、分，共60分）题号123456789101112答案二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 任意，都有14. 515. 116. 三、解答题：（共70分）17. (1)当时，解得.当时，由，两式作差得： （）故数列是以为首项，为公比的等比数列，其通项公式为 6分 (2)=.9分故 12分18.解析：（1）由题意得，解得， 2分50个样本小球重量的平均值为克；故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为克； 6分（2）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在内的概率为，则，的取值为， 的分布列为： ，（或者） 12分19.解:（1）证明：，又面.又面，以为原点建立如图所示的
8、空间直角坐标系，则有， 4分设且，即,则，所以；6分（2）存在一点且为的中点，使平面与平面夹角的余弦值为 7分理由如下：由题可知面的法向量设面的法向量为，则，即，令，则 10分平面与平面夹角的余弦值为，即，解得或（舍），所以当为中点时满足要求 12分20. 解：（1）由题知，且 即， 椭圆的方程为； 4分（2）当直线的斜率不存在时，必有，此时， 5分当直线的斜率存在时，设其斜率为、点，则与椭圆联立，得，设，则 即 又 9分综上，无论怎样变化，的面积为常数 12分21. 解：（I）易知，当；当；故函数在上单调递增，在上单调递减，的最大值为. 4分（II）不妨设，, 有，即，即.由（I）知函数在上单调递增，在上单调递减，所以要证，只要证，即只要证.6分,则易知.只要证.,又，在上单调递减，只要证，又，只要证即可. 即只要证, 只要证,只要证,令，即只要证当时恒成立即可.又 ，又，在上单调递增, ,有恒成立，此题得证.12分22. 解 ：(1)，又与圆相切于点，为切线，即. 5分(2)，由，得为圆的切线，又为圆的切线 ，. 10分23、解析：（）圆的普通方程为 5分（）由 (x2)2y22 设 (为参数)所以xy的最大值4，最小值0 10分24. 解：（1） 5分 （2）不等式恒成立等价于，因为，所以，于是，即，即或 10分（解答题其他解法请酌情给分）
