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1、中学数学问题解决之道：数形结合【摘要】数形结合是一种重要的数学思想方法, 贯穿于数学的各个分支. 其实质是将抽象的数学语言与直观的图形联系起来，使抽象思雄与形象思维相结合,在解题中借数解析形，以形表达数量关系. 有些数量关系，借助几何图形的直观描述，可以使许多抽象的概念和复杂的关系形象化、简单化。数形有机的结合，使问题化繁为简，化难为易，化抽象为具体,从而达到简洁、明了的解题效果。提高数形结合的灵活性,有助于思维能力的培养, 有利于解题能力的提高. 数形结合在中学数学中有广泛的应用, 本文仅例举说明数形结合思想方法在方程问题,不等式问题,最值问题,函数问题,复数问题方面的应用。【关键词】数形结
2、合 方程问题 不等式问题 最值问题 函数问题 复数问题1 引言数形结合是一种重要的数学思想. 所谓数形结合, 就是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来,一方面借助形的直观性来阐明数量之间的联系,另一方面是借助于数的精确性来阐明形的某些属性. 华罗庚先生曾指出: “数缺形时少直观, 形少数时难入微; 数形结合百般好, 隔裂分家万事非. ”数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化, 能够变抽象思维为形象思维, 有助于把握数学问题的本质. 注意这一思想方法的渗透,有利于解题能力的培养,有利于优化思维品质,并能在认知结构中有机地沟通数学各分支的内在联系.在处理某些数学问题时, 我们可以从问
3、题的结构特征入手, 充分挖掘出问题的几何背景, 再利用数形结合的方法建立起几何模型, 很多问题便迎刃而解, 且解法简捷. 避免复杂的计算与推理,这不仅培养了学生的观察力,联想力,综合运用知识的能力.还培养了学生的创新意识与能力.数形结合的方法重点在以形助数,贯穿于整个中学数学,本文仅例举说明数形结合思想方法在方程问题,不等式问题,最值问题,函数问题,复数问题方面的应用。2 方程问题方程是中学数学常见的学习、研究对象，尤其是二次方程，是学习的重点和难点。而方程、不等式、函数又有密切联系 ，是知识的融汇点，这就使得这类问题成为应用数形结合方法的良好载体。2.1 方程实根的正负情况用代数方法研究方程
4、根的情况,计算复杂.若用形结合的方法,利用方程与函数的关系,画出函数图象,将方程解的问题转化为函数图象的交点来处理,则形象直观,过程明了.例1 为何值时,二次方程有一个正根，一个负根?解：设 二次方程， a1.(1)当时，抛物线开口向上，如图方程有一个正根，一个负根故此时,不存在。 (2)当时，抛物线开口向下，如图 方程有一个正根，一个负根 故 综上所述，当时，方程有一个正根，一个负根。例2 已知二次方程有一正根和一负根,求的取值范围.解:设二次项系数大于0,函数图象开口向上函数与轴的交点落在轴两侧只需.解之得:-或.例3 已知二次方程有两个正根,求的取值范围.解:设.依题意二次函数的图象与轴
5、的交点落在轴的正半轴.如下二图所示.所以有 或分别解两个不等式组,求交集得的取值范围是.例4 已知方程有两个正根，且一根在(0,1),另一根在(1,2),求的取值范围.解:由已知得:所得不等式组表示平面上一区域,如图.看作点()与(1,2)连线的斜率.连接得最大斜率连接得最小斜率.利用函数图像来研究二次方程，要注意抛物线开口方向的讨论。分析题意，提取作图的限制条件，列出满足条件的方程，做到不重不漏。2.2 求方程实根的个数有些方程并不需要求出实根,只要求方程的实根个数.这就没有必要按常规方法求解.利用数形结合,将方程实根的个数转化为曲线的交点的个数.例5 求方程的实根个数。解：此题若直接解方程
6、则较为困难，若利用数形结合，将代数问题转化为几何问题，则较为简单。即求两曲线的交点的个数。做出函数和的图象，从图中可以看出两曲线的交点M只有一个，方程只有一个实数解。例6 求方程的解的个数.解:作出函数和的图象.观察图象,两函数图象有3个交点.原方程的解有3个.例7 试判断方程的解的个数。解：要解出方程是不可能的。但题目只需要知道方程解的个数。若能突破传统的解方程的思想，利用图形来处理，则轻而易举。方程的解的个数实质是与图象的交点的个数。分别作出和时的图象，由图可知两曲线有两个交点。例8 当a为何值时, 关于的方程无解?有一解?有两解?解:由题意得 即 设, ,则的图象为过定点(1 ,0) 的
7、直线系, 如图所示.直线:为切线,切点为(2 ,4).由图可知(1) 方程(*)无解直线系斜率满足。(2) 方程(*) 有一解直线系斜率满足,此时符合条件。(3) 方程(*) 有两解直线系斜率满足.此时交点横坐标均满足的条件。综上所述,当时,原方程无解; 当时,原方程有一解;当时,原方程有两解。例9 已知方程有四个实根,求的取值范围。解:此方程含绝对值号,并且有四个实根,若以代数方法求解,一时之间难以找到入手点,分类讨论难免繁冗复杂.而画出,的图象后,只须两图象有四个交点即可。即-1k 0,y 0,z 0 ,求证:. 解:这是个代数不等式的证明问题,已知条件简单,难以下手.但由代数式的结构联想
8、到余弦定理,有.又 x 0,y 0,可以表示以x , y 为边, 夹角为60的三角形的第三边。同理也有类似的几何意义. 于是构造如图所示的四面体,使.且,由余弦定理得:= 同理:= 在ABC 中, AB + BC CA , 原不等式成立.无理不等式常需要平方升幂，此时要注意定义域不能改变。符合题意的图像只是全部图像中的部分。3.2 二元二次不等式组例16 解不等式组解:先考虑相应的方程组如图，它们分别表示双曲线和圆由(3)知代入(4)得:.原不等式的解集为或熟悉代数式结构，巧用几何意义。3.3 高次不等式中学数学中主要学习一次不等式与二次不等式。高次不等式需转化为低次不等式来求解。最常用的是数
9、轴标根法。例17 解不等式.解:因最高次项系数为- 1 例20 下列不等式一定成立的是（ ）。解：构造两个函数，(1)即同理 即,错误.不等式中的绝对值号体现在图像上就是曲线的翻折。3.5 含参数的不等式若对参数分类讨论来求解,.过程烦琐.利用数形结合可大大简化计算过程。例21 若不等式+恒成立,求的取值范围.解：要使不等式恒成立，只要+的最小值.若用常规的方法来求最小值则较为烦琐。若考虑用绝对值的几何意义，把+理解为到数轴上两点(-1,0),(1,0)的距离的和，则较为简单。当时,有+最小值2. 的取值范围是.例22 设函数,其中,解不等式.解：此题是含字母的不等式，分类讨论思路不清楚，且较烦琐。若运用函数图形的特点，则较为直观清楚。由得。记,.则=1()。表示双曲线的上半支.表示过(0,1)的直线系.从以上两图可以清楚地看出不等式的解。当时,不等式的解集为，当时,不等式的解集为。例23 解关于不等式 分析:按常规的解法,将不等式视为型.需分为:和两类讨论解,即将原不等式等价转化为或即或然后对进行讨
