《勾股定理(毕达哥拉斯定理)及各种证明方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《勾股定理(毕达哥拉斯定理)及各种证明方法（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、勾股定理（毕达哥拉斯定理)勾股定理是一种初等几何定理，是人类初期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。勾股定理是余弦定理的一种特例。勾股定理约有4种证明措施,是数学定理中证明措施最多的定理之一。“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。勾股数组方程a b=的正整数组(a,b,c)。(,4，5）就是勾股数。也就是说,设直角三角形两直角边为a和b,斜边为c，那么a=c ,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。勾股定理命题 如果直角三角形的两条直角边长分别为,斜边长为c,那么。勾股定理的逆定理命题2 如果三角形的三边长a，b,满足,那么这
2、个三角形是直角三角形。 【证法1】（赵爽证明）以、b 为直角边（ba）, 以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于a. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状.RtDH tAB,HD= AB AD H= 90，BAD 90，ABC是一种边长为c的正方形,它的面积等于c2. F FG =GH = b,HE = 0EFG是一种边长为ba的正方形，它的面积等于. .【证法2】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为,再做三个边长分别为、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b,因此面积相等
3、. 即，整顿得 .【证法3】（1876年美国总统Gafiel证明)以a、b 为直角边,以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上EADtBE,E = BEC.AD +ADE = 90, AED + BEC =90. DC = 8090= 9 E是一种等腰直角三角形，它的面积等于.又 DAE=90， EBC 0, ADB.B是一种直角梯形，它的面积等于.【趣闻】:在87年一种周末的傍晚,在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏傍晚的美景,她就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。她走着走着,忽然发现附近的一
4、种小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想弄清晰两个小孩究竟在干什么。只见一种小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一种直角三角形。于是伽菲尔德便问她们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀。”小男孩又问道:“如果两条直角边分别为5和，那么这个直角三角形的斜边长又是多少?”伽菲尔德不加思考地回答到：“那斜边的平方一定等于的平方加上7的平方。”小男孩又说道:“先生，你能说出其中的道理吗?”伽菲尔德一时语塞，无法解释了,心理很不是滋
5、味。于是伽菲尔德不再散步,立即回家，潜心探讨小男孩给她留下的难题。她通过反复的思考与演算，终于弄清晰了其中的道理，并给出了简洁的证明措施。87年4月1日，伽菲尔德在新英格兰教育日记上刊登了她对勾股定理的这一证法。18年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来,人们为了纪念她对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统。”证法。【证法4】(欧几里得证明）做三个边长分别为、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结B、. 过C作DE，交于点M，交DE于点.AF AC,B AD,FA= GA, FAB GAD， FAB的面积等于，GAD的面积等于矩形DLM
6、的面积的一半， 矩形ADLM的面积 =.同理可证,矩形LEB的面积 =. 正方形ADB的面积 矩形ADL的面积 +矩形MEB的面积 ，即 .【证法5】(运用相似三角形性质证明)如图，在RtC中,设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点作CDAB，垂足是D在ADC和ACB中， ADC =AB = 90,CAD BC， ADC AB.AA =AC A，即 同理可证,DB AB，从而有 ，即 【证法6】(邹元治证明)以a、 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、三点在一条直线上，、F、三点在一条直线上
7、,C、G、D三点在一条直线上 RtHE RtB,H BEF.EH E =90,AEH + BE= 90. HEF 1809= 四边形EFG是一种边长为c的正方形. 它的面积等于c2. RtD RtAE,HG = A + G = 0， EHA +GHD =9.又 GHE 9, DH 90+ = 10D是一种边长为a b的正方形，它的面积等于 . .【证法7】（运用切割线定理证明）在RtABC中，设直角边BC = a， ,斜边A =c.如图，以B为圆心为半径作圆，交A及AB的延长线分别于D、E，则D = BE BC = a.由于BC= 90，点C在B上，因此C是的切线. 由切割线定理，得= ,即, .【证法8】(作直角三角形的内切圆证明)在RtABC中,设直角边B = a,Ab，斜边B = c. 作RtABC的内切圆O，切点分别为、E、F(如图），设的半径为r. A ,BF = D,CD = CE，= r +r = 2r,即， . ，即 ， , ,又 = ， ， ,
