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1、第八讲 多维随机变量及其分布第三章 多维随机变量及其1. 二维随机变量的分布一般, 设 E 是一个随机试验, 它的样本空间是S=e,设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上分布1 二维随机变量在实际问题中, 对于某些随机试验的结果需要同时用两个或的随机变量，由它们构成的一个向量(X,Y), 叫做二维随机向量或二维随机变量.定义：设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实两个以上的随机变量来描. 例 如, 为了研究某一地区学龄前 儿童的发育情况, 对这一地区 的儿童进行抽查, 对于每个儿 童都能观察到他的身高H和体数 x,y, 二元函数:F(x, y)二 P(X x) n (Y y)记I成PX x,
2、 Y y称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称重 W. 在这里, 样本空间S=e=某地区的全部学龄前儿 童，而H(e),和W(e)是定义在S 上的两个随机变量. 又如炮弹 弹着点的位置需要由它的横坐为随机变量X和Y的联合分布函数.标和纵坐标来确定, 而横坐标 和纵坐标是定义在同一个样本 空间的两个随机变量.易知，随机点(X,Y)落在矩形域XXx2,y1Y y2的概率为PX1XX2,y1Yx1时F(x2,y)F(x1,y);对 于任意固定的x,当y2y1时F(x,y2)F(x,y1).(2) 0F(x,y)1, 且对于任意固定的 y, F(- g ,y)=0,对于任意固定的 x, F(x,-
3、 g )=0,F(- g ，-g )=0, F(+ g , + g )=1.(3) F(x,y)关于x和关于y都右连续.即 F(x,y)=F(x+0,y), F(x,y)=F(x,y+0)(4) 任给(Xi，yi),(x2,y2), x1x2, y1 02. 离散型二维随机变量的分布如果二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不 相同的值 是有限对或可列无限多对, 则称 (X,Y)是离散型的随机变量.设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取的 值为(,”), i,j=l,2,.,记 PX=xi, Y=yj=pij, i,j=1,2,., 则由概率的定义有ggp 0, w p = 1.ij iji
4、=1 j =1称 PX=xi, Y=yj=pij, i,j=1,2,.,为二维离散型 随机变量X和Y的分布律，或随机变量X 和Y的联合分布律.也可用表格表示X和Y的联合分布律：x1x2.xp11P21-pi1P12P22-P2P1jP2j-Pij例1设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等 可能地取一个值，另一个随机变量Y在1X 中等可能地取一整数值.试求(X,Y)的分布 律.解 由乘法公式容易求得(X,Y)的分布律。易知X=i,Y=j的取值情况是:i=l,2,3,4, j取不大于i的正整数，且lP x =匚 Y = j = P x =iPY = j1 x =i = 4 -i = 1,2,3,
5、4, j i.于是(X,Y)的分布律为Y、.123411/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/16将(X,Y)看成一个随机点的坐标，则离散型 随机变量X和Y的联合分布函数为F (x, y)=工工 p ,(1.2)ijx. x y . y其中和式是对一切满足x x , y y的i,jij 来求和的.3. 连续型二维随机变量的概率密度 与一维随机变量相似 , 对于二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y),如果存在非负的函数f(x,y)，使对于任意x,y有F (x, y) Jy Jxf (u,v)du d v,R 2 F ( x, y)dxdy则称
6、(X,Y)是连续型的二维随机变量,函数 f(x,y)称为二维随机变量(X,Y)的概率密度, 或称为随机变量X和Y的联合概率密度.1 F(x + A x, y + A y) - F (x, y + A y) lim a x ” o A yA xA y T 0F(x 土 A x y) F (x y)Ax由性质4,在f(x,y)的连续点处limA x T0Px X x + A x, y Y 0.A y T0=lim 1F (x + A x, y + A y) F (x + A x, y)AxT0 AxAyA y T0F(x,y+Ay)+F(x,y)8 2 F (x, y)dxdy=f (x, y).
7、这表示若f(x,y)在点(x,y)处连续,则当A x, A y很小时PxXx+Ax,yY 0, y 0,其它.(1)求分布函数F(x,y); (2)求概率PYX.解 (1)F (x, y) = f (x, y )d x d yS= 0, y 0 -0 -其它.即有 F(x, y)=(1e2x)(1ey), x0,y0,0,其它.(2)将(X,Y)看作是平面上随机点的坐标，即有Y X=(X,Y) e G,其中G为xOy平面上直线y=x及其下方的部分,于是PY 2)维随机变量的情况.一般，设E是一 个随机试验, 它的样本空间是 S=e, 设 X1=X1(e), X2=X2(e),Xn=Xn(e)是
8、定义在 S 上的随机变量，由它们构成的一个n维随机 向量(X ,X2,.,Xn)叫做n维随机向量或n维随 机变量.任给 n 个实数 x1,x2,.,xn, n 元函数F(x1,x2,.,xn)=PX1x1,X2x2,.,Xnxn 称为n维随机变量(X,X2,.,Xn的分布函数 或联合分布函数. 它具有类似于二维随机变 量的分布函数的性质.课间休息)4.二维随机变量的边缘分布一FX(x),FY(y)边缘分布函数可以由(X,Y)的分布函数F(x,y)所确定, 事实上,FX(x)=PXx=PXx, Yg =F(x,g), 即2 边缘分布二维随机变量(X,Y)作为一个整体,具有分布函数F(x,y).而
9、X和Y都是随机变量, 各自也有分布函数,FX(x)=F(x,g).同理，FY(y)=F(g,y).(2.1)(2.2)将它们分别记为 FX(x),FY(y), 依次称为二维随机变量(X,Y)关于X和关于Y的边缘分布函数.1)对于离散型随机变量,gF (x)二 F (x, g)二 W p .Xijxi x j =1X 的分布律为P X = x = p = p , i = 1,2，iiji j=1Y 的分布律为注意, 记号 p 中的 是由pij 关iJ于J求和后得到的；同样，p是由 jpiJ关于i求和后得到的.PY = y = p = p , j = 1,2, jij ji=1分别称 p (i=1
10、,2,.)和 p (j=1,2,.)为(X,Y)关 i j于X和关于Y的边缘分布律。(2)对于连续型随机变量，设随机向量(X,Y)的概率密度为f(x,y),由于F (x) = F (x, g) = Jx J f (x, y)d y d x,XgJ1知，X是一个连续型随机变量,且其概率密度为f (x)十f (x,y)dy(2.3)X g同样,Y也是一个连续型随机变量，其概率密度为f (y)十f (x, y)d x(2.4)Y g称fX(x),fY(y)为(X,Y)关于X和关于Y的边缘概率密度。例3 整数N等可能地在1,2,3,.,10十个值 中取一个值.设D=D(N)是能整除N的正整 数的个数,
11、F=F(N)是能整除N的素数的个数 (注意1不是素数)，试写出D和F的联合分 布律.解 先将试验的样本空间及D,F取值的情况 列表如下:样本点12345678910D1223242434F0 11112 1112D和F的联合分布律及边缘分布律如下表所示:1234PF=j01/100001/10104/102/101/107/1020002/102/10PD=1/104/102/103/101例4设随机变量X和Y具有联合概率密度f (x, y)二6, x2 y x,0, 其它.求边缘概率密度f (x), f (y).XY解：f (x)f (x, y )d yX一8Jx 6dy = 6(x-x2),0 x 1, x20其它.f (y) = J8 f(x, y)dxY -8J y 6dx = 6( Jy y), 0 y 1,y0,其它.例5二维随机变量(X,Y)的概率密度为f ( x, y) =
