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1、 4.2 换元积分法授课题目4.2 换元积分法（第一类换元法）教学目的与要求：1. 理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微分”， .2. 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分.教学重点与难点：重点：第一换元法的思想，难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分.讲授内容：一、第一类换元积分法设具有原函数，.若是中间变量，可微，则根据复合函数求导法则，有。所以根据不定积分的定义可得：以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有.以上就是第一换元积分法。从以上可以看出，虽然是一个整体记号，但是被积表达式中的可当作变量x的微分来
2、对待,从而上式中的可以看成是的微分，通过换元，应用到被积表达式中就得到.定理1 设具有原函数，可导，则 (1)如何应用公式(1)，在求不定积分积分时, 如果被积函数g(x)可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式的形式, 那么 .所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积来.例1 求解 ，可设中间变量，所以有.首先观察被积函数的复合函数是什么样的，然后看是否有它的内函数的导数，若没有就去凑。例2 解 令，显然，则.在比较熟练后，我们可以将设中间变量的过程省略，从而使运算更加简洁。例3 解 如将展开是很费力的，不如把作为中间变量，.例4 .例5 例6
3、求 .二、掌握几种典型的“凑微分”的方法； ； ； ； ； ； ； 。三、利用第一换元积分法法计算有关函数的不定积分计算有关函数的不定积分时，需要先把被积函数变形转化，再利用第一换元积分法计算.例7 求解 .（此题利用三角函数中的降幂扩角公式）例8求解 .利用，有如下例题例9 求解 例10求 解 .利用，例11 求 习题 4-2:2(30)解 .例12 求解 .例13 求解 .此题利用下面几个例题利用例14 求解 .又如习题 4-2:2（16）;解 . 例15 求解 .第一次课可以讲到这里. 被积函数是分母是二次函数,分子是常数或一次函数的有理分式函数的不定积分的求法(例16例22六个例题)例
4、16求 分子是常数，分母是二次二项式，没有一次项.解 .例17 被积函数分母是一个完全平方式解 .被积函数分母是一个完全平方式，被积函数化为例18 分子是常数，分母是二次三项式，不是完全平方式解 被积函数分母是二次三项式且不可以分解因式，不是完全平方式时可以把分母配方化为的形式， 然后利用 练习：求（第一换元积分法分）解 ， 例19 求 分子是常数，分母是二次三项式且可以分解因式解 .被积函数分母是二次三项式且可以分解因式，被积函数可以用裂项法转化为两个简单分式的差.例20求 分子是一次多项式，分母是二次多项式解 .例21求解 ，则 .被积函数分子是一次多项式，分母是二次多项式时，首先把分子凑
5、成分母的导数.下面几个例题利用三角函数的微分公式：；例22 求 （化切为弦）解 例23 求解 例24 求.因为 .所以 .此题用三角万能公式代换也可以.例25 求解 .例26 求（利用三角函数积化和差公式）和差化积公式 积化和差； 解 根据三角函数的积化和差公式：.由以上例题可以看出，第一换元积分法是一种非常灵活的计算方法，始终贯穿着“凑微分”思想，因此学生应熟悉这些基本例题。归纳总结1.第一换元法是把被积函数g(x)凑成的形式然后应用公式；2.要熟练掌握几种典型的“凑微分”的方法。；.3.熟练掌握几种典型用第一换元积分法计算的不定积分； ； 课堂练习：第一次课1，习题 4-2:2(2)(5)(6)(8)(10)(12)(16)(18)(19)；第二次课2(11)(35)(43)(12)(29). 课外作业：第一次课习题 4-2:2(1) (2)(4)(6) (7) (8) (9) (13) (16)(17)(19)（21）(30) (33).第二次课2(11) (12) (15) (22)(24) (25) (26)(32) (34) （35）（43）.
