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1、例：如图E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且ZEAF=45。求证：EF=BE+DF；证厶ABGADF，得Z3=Z2,AG=AF,进而求证AGEAFE,可得GB+BE=EF，所以DF+BE=EF特征描述：过等腰ABC(AB=AC)顶角顶点(设顶角为A)，引两条射线且它们的夹角为A/2；这两条射线与过底角顶点的相关直线交于两点M、N，则BM,MN,NC之间必存在固定关系。这种关系仅与两条相关直线及顶角A相关.题型识别：“等线段、共顶点、半角度”解决方法：以公共顶点为中心，旋转三角形，使得相等的两线段重合；找出两组全等三角形，得到对应的边角相等关系。如图，在正方形ABCD的边BC,CD上分
2、别有点E,F,ZEAF=45,AH丄EF.求证：AH=AB；分析：将绕点A顺时针旋转90得到WEG,根据旋转的性质可得DF=BG,AF=AG,ZDAF=ZBAG,然后求出ZEAF=ZEAG=45,再利用边角边”证明WEF和WEG全等，根据全等三角形对应边上的高相等可得AH=AB证明：将MDF绕点A顺时针旋转90得到ABG,由旋转的性质得，DF=BG,AF=AG,ZDAFBAG.VZFAG=ZBAG+ZBAF=ZDAF+ZBAF=ZBAD=90,ZEAF=45,AZEAF=ZEAG=45.在WEF和WEG中,AFAGZEAFEAGAEAEAEF里“AEG(SAS)fAH、AB分别是“AEF和“A
3、EG对应边上的高，AH=AB(1)如图1,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点，且ZEAF=45,试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：(2)如图2:在四边形ABCD中，AB=AD,ZBAD=120,ZB=ZADC=90点E、F分别是BC、CD上的点，且ZEAF=60,探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是,延长FD到点C,使DG=BE，连结AG,先证明ABEADG,再证明“AEFAGF，可得出结论，他的结论应是请你帮小王同学写出完整的证明过程GA(1)如图1,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点，且ZEAF=4
4、5,试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；(2)如图2,若把(1)问中的条件变为在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180,E、F分别是边BC、1CD上的点，且EAF二2BAD，则(1)问中的结论是否仍然成立?若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；(3)在(2)问中，若将MEF绕点A逆时针旋转,当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时,如图3所示，其它条件不变，则(1)问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明mi已知：如图，RfABC中，ZACB=90,AC=BC,将直角三角板中45角的顶点放在点C处，并将三角板绕点C旋转三角板的两边分别交A
5、B边于D、E两点(点D在点E的左侧，并且菁优网点D不与点A重合，点E不与点B重合)，设AD=m，DE=x，BE=n(1)判断以m、x、n为三边长组成的三角形的形状，并说明理由；(2)当三角板旋转时，找出AD、DE、BE三条线段中始终最长的线段，并说明理由.倡导研究性学习方式，着力教材研究，习题研究，是学生跳出题海，提高学习能力和创新能力的有效途径下面是一案例，请同学们认真阅读、研究，完成“类比猜想”的问题(1)如图(1),点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,ZEAF=45,连接EF,则EF=BE+DF,说明理由完成解题过程解：把MBE绕点A逆时针旋转90至MDE,点F、D、E在一条直
6、线上.(2)类比猜想请，同学们研究：如图（2）,在菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上,当ZBAD=120,ZEAF=60时,还有EF=BE+DF吗？请说明理由.D以m、n、k为边长的三角形的形状是（在下列括号中选择）.（锐角三角形；钝角三角形；直角三角形；等腰三角形；等腰直角三角形；等边三角形）如图，在等腰直角MBC的斜边AB上任取两点M、N，使ZMCN=45,记AM=m,MN=n,BN=k.试猜想:BSEEi已知:如图1在RfABC中,ZBAC=90,AB=AC,点DE分别为线段BC上两动点,若ZDAE=45度探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.小明的思路是：把WEC绕点
7、A顺时针旋转90,得到ABE,连接ED，使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题:（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2，其它条件不变（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明.A卫问题1如图1在等腰梯形ABCD中ADBCAB=BC=CD点MN分别在ADCD上若MBN=1ABC,2试探究线段MN,AM,CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明；问题2：如图2，在四边形ABCD中，AB=BC，ZABC+ZADC=180,点M,N分别在DA,CD的延长线上，若MBN=,请你进一步探究线段MN,AM,CN又有怎样的数量关系？写出你的猜想，2并给予证明
