《专题04 立体几何中平行关系的证明-新教材2019-2020学年下学期高一数学期末挑重点(人教A版必修第二册)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题04 立体几何中平行关系的证明-新教材2019-2020学年下学期高一数学期末挑重点(人教A版必修第二册)（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题04 立体几何中平行关系的证明1.直线与平面平行(1)直线与平面平行的定义直线l与平面没有大众点,则称直线l与平面平行.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线平行于此平面a,b,aba性质定理一条直线和一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行a,a,bab2.平面与平面平行(1)平面与平面平行的定义没有大众点的两个平面叫做平行平面.(2)判定定理与性质定理文字语言图形表示符号表示判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行a,b,abP,a,b性质定理两个平面平行,则其中一个平面内
2、的直线平行于另一个平面,aa如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行,a,bab考点一与线、面平行相关命题的判定【例1】 (1)(2019开封模拟)在空间中,a,b,c是三条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题中的真命题是()A.若ac,bc,则abB.若a,b,则abC.若a,b,则abD.若,a,则a(2)(2018聊城模拟)下列四个正方体中,A,B,C为所在棱的中点,则能得出平面ABC平面DEF的是()【参考答案】(1)D(2)B【解析】(1)对于A,若ac,bc,则a与b可能平行、异面、相交,故A是假命题；对于B,设m,若a,b均与m平行,则ab,故B是假命题；对于
3、C,a,b可能平行、异面、相交,故C是假命题；对于D,若,a,则a与没有大众点,则a,故D是真命题.(2)在B中,如图,连接MN,PN,A,B,C为正方体所在棱的中点,ABMN,ACPN,MNDE,PNEF,ABDE,ACEF,ABACA,DEEFE,AB,AC平面ABC,DE,EF平面DEF,平面ABC平面DEF.考点二直线与平面平行的判定【例2】已知大众边为AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不在同一平面内,P,Q分别是对角线AE,BD上的点,且APDQ(如图)求证：PQ平面CBE.【证明】方法一作PMAB交BE于点M,作QNAB交BC于点N,连接MN,如图,则PMQN,.EABD,AP
4、DQ,EPBQ.又ABCD,PM綊QN,四边形PMNQ是平行四边形,PQMN.又PQ平面CBE,MN平面CBE,PQ平面CBE.方法二如图所示,连接AQ并延长交BC的延长线于K,连接EK.AEBD,APDQ,PEBQ,又ADBK,PQEK,又PQ平面BCE,EK平面BCE,PQ平面BCE.考点三直线与平面平行性质定理的应用【例3】 (2018上饶模拟)如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,棱长为2,E,F分别是棱DD1,C1D1的中点.(1)求三棱锥B1A1BE的体积；(2)试判断直线B1F与平面A1BE是否平行,如果平行,请在平面A1BE上作出与B1F平行的直线,并说明理由.【证明】
5、(1)如图所示,VB1A1BEVEA1B1BSA1B1B DA222.(2)B1F平面A1BE.延长A1E交AD延长线于点H,连BH交CD于点G,则BG就是所求直线.证明如下：因为BA1平面CDD1C1,平面A1BH平面CDD1C1GE,所以A1BGE.又A1BCD1,所以GECD1.又E为DD1的中点,则G为CD的中点.故BGB1F,BG就是所求直线.考点四面面平行的判定与性质【例4】如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证：(1)B,C,H,G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.【证明】(1)G,H分别是A1B1,A1C1
6、的中点,GH是A1B1C1的中位线,则GHB1C1.又B1C1BC,GHBC,B,C,H,G四点共面.(2)E,F分别为AB,AC的中点,EFBC,EF平面BCHG,BC平面BCHG,EF平面BCHG.又G,E分别为A1B1,AB的中点,A1B1綉AB,A1G綉EB,四边形A1EBG是平行四边形,A1EGB.A1E平面BCHG,GB平面BCHG,A1E平面BCHG.又A1EEFE,平面EFA1平面BCHG.【迁移探究1】 在本例中,若将条件“E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点”变为“D1,D分别为B1C1,BC的中点”,求证：平面A1BD1平面AC1D.【证明】如图所示,
7、连接A1C交AC1于点M,四边形A1ACC1是平行四边形,M是A1C的中点,连接MD,D为BC的中点,A1BDM.A1B平面A1BD1,DM平面A1BD1,DM平面A1BD1,又由三棱柱的性质知,D1C1綉BD,四边形BDC1D1为平行四边形,DC1BD1.又DC1平面A1BD1,BD1平面A1BD1,DC1平面A1BD1,又DC1DMD,DC1,DM平面AC1D,因此平面A1BD1平面AC1D.一、选择题1.若直线l不平行于平面,且l,则()A.内的所有直线与l异面B.内不存在与l平行的直线C.与直线l至少有两个大众点D.内的直线与l都相交【参考答案】B【解析】因为l,直线l不平行于平面,所
8、以直线l只能与平面相交,于是直线l与平面只有一个大众点,所以平面内不存在与l平行的直线.2.(2019大连双基测试)已知直线l,m,平面,则下列条件能推出lm的是()A.l,m, B.,l,mC.l,m D.l,m【参考答案】B【解析】选项A中,直线l,m也可能异面；选项B中,根据面面平行的性质定理,可推出lm,B正确；选项C中,直线l,m也可能异面；选项D中,直线l,m也可能相交.故选B.3.(2018长郡中学质检)如图所示的三棱柱ABCA1B1C1中,过A1B1的平面与平面ABC交于DE,则DE与AB的位置关系是()A.异面 B.平行C.相交 D.以上均有可能【参考答案】B【解析】在三棱柱
9、ABCA1B1C1中,ABA1B1,AB平面ABC,A1B1平面ABC,A1B1平面ABC,过A1B1的平面与平面ABC交于DE.DEA1B1,DEAB.4.(2018重庆六校联考)设a,b是两条不同的直线,是两个不同的平面,则的一个充分条件是()A.存在一条直线a,a,aB.存在一条直线a,a,aC.存在两条平行直线a,b,a,b,a,bD.存在两条异面直线a,b,a,b,a,b【参考答案】D【解析】对于选项A,若存在一条直线a,a,a,则或与相交,若,则存在一条直线a,使得a,a,所以选项A的内容是的一个必要条件；同理,选项B、C的内容也是的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D,可以通过
10、平移把两条异面直线平移到一个平面中,成为相交直线,则有,所以选项D的内容是的一个充分条件.故选D.5.(2019合肥模拟)若平面截三棱锥所得截面为平行四边形,则该三棱锥与平面平行的棱有()A.0条 B.1条C.2条 D.1条或2条【参考答案】C【解析】如图所示,四边形EFGH为平行四边形,则EFGH.EF平面BCD,GH平面BCD,EF平面BCD.又EF平面ACD,平面BCD平面ACDCD,EFCD.又EF平面EFGH,CD平面EFGH.CD平面EFGH,同理,AB平面EFGH,所以与平面(面EFGH)平行的棱有2条.参考答案C6.已知m,n是两条不同直线,是两个不同平面,则下列命题正确的是(
11、)A.若,垂直于同一平面,则与平行B.若m,n平行于同一平面,则m与n平行C.若,不平行,则在内不存在与平行的直线D.若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面【参考答案】D【解析】A项,可能相交,故错误；B项,直线m,n的位置关系不确定,可能相交、平行或异面,故错误；C项,若m,n,mn,则m,故错误；D项,假设m,n垂直于同一平面,则必有mn与已知m,n不平行矛盾,所以原命题正确,故D项正确.二、 多项选择7（2019秋青岛期中）在正方体ABCDA1B1C1D1中,下列直线或平面与平面ACD1平行的有（）A直线A1BB直线BB1C平面A1DC1D平面A1BC1【参考答案】AD【解析】对于
12、A,由于A1BD1C,且A1B平面ACD1,可得直线A1B平面ACD1；对于B,由于B1BD1D,且D1D平面ACD1D1,可得直线B1B不平行平面ACD1；对于C,由于A1DAD1,A1D平面A1DC1,可得平面A1DC1不与平面ACD1平行；对于D,由于A1BD1C,C1BD1A,A1B,C1B平面A1BC1,可得平面A1BC1平面ACD1故选：AD8（2019春思明区校级期中）下列四个正方体图形中,A、B为正方体的两个顶点,M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出AB平面MNP的图形是（）ABCD【参考答案】AD【解析】在A中,连接AC,则ACMN,由正方体性质得到平面MNP平面ABC,A
13、B平面MNP,故A成立；B若下底面中心为O,则NOAB,NO面MNPN,AB与面MNP不平行,故B不成立；C过M作MEAB,则E是中点,则ME与平面PMN相交,则AB与平面MNP相交,AB与面MNP不平行,故C不成立；D连接CE,则ABCE,NPCD,则ABPN,AB平面MNP,故D成立故选：AD9对于不重合的两个平面与,给定下列条件中,可以判定与平行的条件有（）A存在平面,使得,都平行于B存在平面,使得,都垂直于C内有不共线的三点到的距离相等D存在异面直线l,m,使得l,l,m,m【参考答案】AD【解析】与平行此时能够判断存在平面,使得,都平行于；两个平面平行,所以A正确存在平面,使得,都垂直于；可以判定与平行,如正方体的底面与相对的侧面也可能与不平行B不正确C不能判定与平行如面内不共线的三点不在面的同一侧时,此时与相交；D可以判定与平行可在面内作ll,mm,则l与m必相交
