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1、第五讲 立体几何立体几何作为高中数学的重要组成局部之一，当然也是每年的全国联赛的必然考察内容。竞赛数学当中的立几题往往会以中等难度试题的形式出现在一试中，考察的内容常会涉及角、距离、体积等计算。解决这些问题常会用到转化、分割及补形等重要的数学思想方法。一、立体几何中的排列组合问题。例一、1991年全国联赛一试由一个正方体的三个顶点所能构成的正三角形的个数为A4； B8； C12； D24。分析：一个正方体一共有8个顶点，根据正方体的构造特征可知，构成正三角形的边必须是正方体的面对角线。考虑正方体的12条面对角线，从中任取一条可及其他面对角线构成两个等边三角形，即每一条边要在构成的等边三角形中出
2、现两次，故所有边共出现次，而每一个三角形由三边构成，故一共可构成的等边三角形个数为个。例二、1995年全国联赛一试将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是 。分析：就四棱锥P而言，显然顶点P的颜色必定不同于A、B、C、D四点，于是分三种情况考虑： 假设使用三种颜色，底面对角线上的两点可同色，其染色种数为：种 假设使用四种颜色，底面有一对对角线同色，其染色种数为：种 假设使用五种颜色，那么各顶点的颜色各不一样，其染色种数为：种故不同染色方法种数是：420种。二、及角有关的计算。立体几何中的角包括异面直线所成的角、直线及平
3、面所成的角、二面角三种。其中两条异面直线所成的角通过作两条异面直线的平行线找到表示异面直线所成角的相交直线所成的角，再构造一个包含该角的三角形，解三角形即可以完成；直线与平面所成的角那么要首先找到直线在平面内的射影，一般来讲也可以通过解直角三角形的方法得到，其角度范围是；二面角在求解的过程当中一般要先找到二面角的平面角，三种方法：作棱的垂面与两个半平面相交；过棱上任意一点分别于两个半平面内引棱的垂线；根据三垂线定理或逆定理。另外还可以根据面积射影定理得到。式中表示射影多边形的面积，表示原多边形的面积，即为所求二面角。OCBA例三、直线与平面斜交于一点，是在内的射影，是平面内过点的任一直线，设求
4、证：分析：如图，设射线任意一点，过作于点，又作于点，连接。有： 所以，。评注：上述结论经常会结合以下课本例题一起使用。过平面内一个角的顶点作平面的一条斜线，如果斜线与角的两边所成的角相等，那么这条斜线在平面内的射影一定会落在这个角的角平分线上。利用全等三角形即可证明结论成立。从上述等式的三项可以看出值最小，于是可得结论：平面的一条斜线与平面内经过斜足的所有直线所成的角中，斜线及它的射影所成的角最小。例四、1997年全国联赛一试如图，正四面体中，E在棱上，F在棱上，使得：，记，其中表示及所成的角，其中表示及所成的角，那么：FEDCBAGA在单调增加；B在单调减少；C在单调增加；在单调减少；D在为
5、常数。分析：根据题意可首先找到及对应的角。作，交于G，连。显然ODCBA例五、1994年全国联赛一试一个平面及一个正方体的12条棱的夹角都等于，那么 。分析：正方体的12条棱可分为三组，一个平面及12条棱的夹角都等于只需该平面及正方体的过同一个顶点的三条棱所成的角都等于即可。如下图的平面就是符合要求的平面，于是：D1C1B1A1DCBA例六、设锐角满足：。求证：。分析：构造长方体模型。构造如下图的长方体A1B1C1D1，连接1、A1C1、1、1。过同一个顶点的三条棱、1及对角线1所成的角为锐角，满足：不妨设长方体过同一个顶点的三条棱、1的长分别为。那么：以上三式相乘即可。证明二：因为为锐角，故
6、：同理：，三式相乘。例七、1994年全国联赛一试在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是A ； B ； C ； D 。分析：根据正n棱锥的构造特征，相邻两侧面所成的二面角应大于底面正边形的内角，同时小于，于是得到A。例八、1992年全国联赛一试设四面体四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，它们的最大值为S，记，那么一定满足A ； B ； C ； D 。分析：因为 所以 。特别的，当四面体为正四面体时取等号。另一方面，构造一个侧面及底面所成角均为的三棱锥，设底面面积为S4，那么：假设从极端情形加以考虑，当三棱锥的顶点落在底面上时，一方面不能构成三棱锥，另外此时有，也就是，于是必须。应
7、选A。三、有关距离的计算。例九、2003年全国联赛一试将八个半径为1的小球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球与其相邻的四个球相切，且及圆柱的一个底面及侧面都相切，那么此圆柱的高等于 。分析：立体几何问题的处理常需要抓住其主要特征，作为球体其主要特征无疑为球心及球半径，将八个小球的球心独立出来即可得到一个如下图的几何体。H1G1F1E1C1B1A1HGEDCBAD1FOB1D1F1H1,此几何题每相邻两点间的距离为2，显然，两底面及B1D1F1H1间的距离加上2即为所求符合条件的圆柱体的高。于是将该几何体补形成为如图所示的正八棱柱求其高，也就是求其中一个局部，三棱锥B1的高，然后加上2即可。取
8、的中点O，连接、B1O，易知：B1在等腰三角形中，2，线段的长度也可以通过正八边形外接圆半径减去正方形边长的一半1得到在直角三角形B1中：1=所求圆柱体的高：例十、2001年全国联赛一试正方体A1B1C1D1的棱长为1，那么直线A1C1及1的距离是 。D1C1B1A1DCBAFE分析：在立体几何中求距离，最常用的解题思想是转化。线线距转化为线面距、线面距转化为面面距、面面距转化为点面距、点面距转化为点线距，最终常常化为在一个平面内求一点到一条直线的垂线段的长度。连接B1D1交线段A1C1于点F，取1的中点E，连接A1E、C1E，显然，1平面A1C1E。于是，将两条异面直线之间的距离转化为直线及
9、平面之间的距离，易知，所求距离为。ODBCAS例十一、1997年全国联赛一试三棱锥S的底面是以为斜边的等腰直角三角形，2，2，设S、A、B、C四点都在以O为球心的某个球面上，那么点O到平面的距离为 。分析：作平面于D，连接，因为2，所以点D为底面三角形的外心，即D为的中点，同时，球心O必在线段上。所求点O到平面的距离即为线段的长。设球半径，那么： 解得：。例十二、1996年全国联赛一试高为8的圆台内有一个半径为2的球O1，球心O1在圆台的轴上，球O1及圆台的上底面、侧面都相切。圆台内可再放入一个半径为3的球O2，使得球O2及球O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点。除球O2，圆台内最多还能放
10、入半径为3的球的个数是A 1 ； B 2 ； C 3； D 4 。分析：根据所放球的特点，参加的小球与球O2应该都及球O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点，即参加小球的球心及O2均匀分布在及底面距离为3，圆台轴的周围。如图：作O2O轴1于O，那么：O1OBAO2OO2原问题即需考察在半径为4的圆周上，均匀分布着几个半径为3且不相交的圆。设：2=2=，那么，显然，故可排列3个圆。即可参加两个小球。例十三、1996年全国联赛一试将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为2，那么最远的两点间的距离是 。分析：设正三棱锥的底面边长为，侧
11、棱长为，那么：ACBDEFOP 即：化简得： 所以，。于是可求得线段的长：。于是有最远距离为底边长3。例十四、1992年全国联赛一试设l、m是两条异面直线，在l上有A、B、C三个点，且，过A、B、C分别作m的垂线、，垂足依次为D、E、F，。求l及m的距离。GAECMLIDFHB分析：设的公垂线段为，过点M作，另作如下图的垂线段。假设点A、B、C在点L的同侧，设所求距离为， 解得：，假设点A、B、C在点L的两侧，如下图有，即有等式：FCBAHIMDGNE， 解得：。四、体积与体积法。ED CBA例十五、2003年全国联赛一试在四面体中，设，直线及的距离为2，夹角为，那么四面体的体积等于分析：根据
12、锥体的体积公式我们知道：。从题目所给条件看，长度的两条线段分别位于两条异面直线上，而距离是两条异面直线之间的距离而非点线距。显然需要进展转化。作,且，连接、，显然，三棱锥A及三棱锥A 底面积与高都相等，故它们有相等的体积。于是有：例十六、2002年全国联赛一试由曲线围成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为V1，满足的点组成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，那么：AV12； BV12； CV12； DV12；分析：我国古代数学家祖暅在对于两个几何体体积的比拟方面作出了卓越的奉献，祖暅原理告诉我们：对于两个底面积一样，高相等的几何体，任做一个平行于底面的截面，假设每一个截面的面积相等，那么
13、这两个几何体的体积相等。运用祖 原理的思想我们可以将不规那么的几何体的体积计算转化为规那么几何体的体积计算。如计算球的体积时我们可以将半球转化为圆柱及圆锥的组合体。显然，此题中的两个几何体符合祖暅原理的条件，比拟其截面面积如下：取，那么：当时：当时：显然，于是有：。例十七、2000年全国联赛一试一个球及正四面体的六条棱都相切，假设正四面体的棱长为，那么这个球的体积是 。分析：由正四面体的图象的对称性可知，内切球的球心必为正四面体的中心，球及各棱相切，其切点必为各棱中点，考察三组对棱中点的连线交于一点，即为内切球的球心，所以每组对棱间的距离即为内切球的直径，于是有： ROEDCAPB 练习：同样可用体积法求出棱长为的正四面体的外接球与内切球的半径。分析可知，正四面体的内切球及外接球球心一样，将球心及正四面体的个顶点相连，可将正四面体划分为四个全等的正三棱锥，于是可知内切球的半径即为正四面体高度的四分之一，外接球半径即为高度的四分之三。故只要求出正四面体的高度即可。又：，所以，。例十八、1999年全国联赛一试三棱锥的底面为正三角形，A点在侧面上的射影H是的垂心，二面角的平面角等于30，。那么，三棱锥的体积为 。OEDHCASB分析：在求解立体几何问题时，往往需要首先明白所要考察对象的图形
