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1、专题二：函数的周期性和对称性【高考地位】值域，然后就要研究对称因此，我们应该掌握函数的周期性和对称性是函数的两个基本性质。在高中数学中，研究一个函数，首看定义域、性(中心对称、轴对称)，并且在高考中也经常考查函数的对称性和周期性，以及它们之间的联系些简单常见的几类函数的周期性与对称性的基本方法。【方法点评】、函数的周期性求法使用情景：几类特殊函数类型解题模板：第合理利用已知函数关系并进行适当地变形;第二步准确求出函数的周期性;第三步运用函数的周期性求解实际问题函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x2)1，若f (1) f(x)5,则f(f(5)A.5考点：函数的周期性.(2)已知f x在R上
2、是奇函数，且满足 f x0,5时,2016()A、-12、-16-20试题分析：因为10f x的周期为10,因此f 2016 f16 412 ,故选A.考点：1、函数的奇偶性;2、函数的解析式及单调性.【点评】(1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对函数周期性的考查,主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值.(2)求函数周期的方法【变式演练1】已知定义在 R上的函数f(x)满足f( x)f(x), f(3 x)f (x),则 f(2019)()【答案】B【变式演练2】定义在R上的函数x满足f x 2x 0,x0,2 时，f x 3x 1,则 f 2015 的值为()A.-2B.
3、0C.2D.8试题分析：由已知可得f(x4)f(x2)f(x)fx的周期T4f2015f(3)f(1)2,故选A.考点：函数的周期性【变式演练3】定义在R上的偶函数yf(x)满足f(x2)f(x),且在x2,0上为增函数，af(-),bf(7),22cf(logi8),则下列不等式成立的是()2a. a b c b . b c ac . b a c d cab【答案】B试题分析：因为定义在 R上的偶函数yf(x)在x 2,0上为增函数，所以在x 0,2上单调递减，又,，7,1,f(x 4) f(x),所以 b f(-) f ,c f (log 18) f 322o一 13.fl,又一1,所以b
4、c a22考点：1 .偶函数的性质；2.函数的周期性.二、函数的对称性问题使用情景：几类特殊函数类型解题模板：记住常见的几种对称结论:第一类第二类第三类 ab函数f(x)满足f(x a) f(b x)时，函数yf (x)的图像关于直线 x a对称；2ab c.函数f(x)满足f(x a) f (b x) c时，函数y f(x)的图像关于点(,上)对称;22b a函数y f (x a)的图像与函数 y f (b x)的图像关于直线 x a对称2(从对称性思考)已知定义在R上的函数f(x)满足f ( x)f (x) , f (3 x) f (x)，则 f (2019)()A.3 B . 0 C ,
5、 1 D , 3【答案】B【易错点晴】函数 f (x)满足f(-x)-f (x),则函数关于(0,0)中心对称,2f (3 x)f(x)，则函数关于x轴对称，常3用结论：若在 R上的函数f(x)满足f(a x) f (a x), f (b x)f(b x),则函数f(x)以41a b|为周期.本题中，利用此结论可得周期为 40-236,进而f (2019) f (3), f (3)需要回到本题利用题干条件赋值即可快J 3已知定义在R上的函数f x的图象关于点 -0对称，且满足f x4，3.f x 士，又 f 11,f 02,2f 2008()A. 669B . 670 C , 2008【答案】
6、D试题分析：由f x3 ，一 f x 一传 fxf x 3 ,又 f 11,f 02,.3f(1)f(13)f(2),f(0)f(3),fx的图象关于点一,0对称，所以41 13f1f()f(-)f(1),f(1)f(2)f(3)0,由fxfx3可得2 22f1f2f3.f2008669(f1f2f3)f(1)f(1)f(1)1,故选D.考点：函数的周期性；函数的对称性.e, e为自然对数的底数)与h(x) 21n x的图像上存在关于 x轴对称的点，则实口，、2,1伤J4已知函数g(x)ax(一xe数a的取值范围是()12122A-1,-22B-1,e22c-22,e22D.e22,)ee【答
7、案】B考点：利用导数研究函数的极值；方程的有解问题33.3【变式演练4】定义在R上的奇函数f(x),对于xR,都有f(3x)f(3x),且满足f(4)2,f(2)m士，44m则实数m的取值范围是【答案】m1或0m33对称，又f(x)是奇函数，因此它也是周期函数, 4f (2 3 2) f ( 4),即 m 2 ,解得m3一3一试您分析：由f(-x)f(-x),因此函数f(x)图象关于直线x443且T4-3,.f(4)2,f(4)f(4)2,f(2)4x1或0x3.考点：函数的奇偶性、周期性【高考再现】1.12016高考新课标2理数】已知函数 f(x)(xR)满足 f( x) 2f (x),若函
8、数yf (x)图像的交点为(Xi, %),诲，丫2),(Xm,ym),贝I(Xi %)(A) 0(B)(Q 2m(D)4m【答案】C试题分析：由于f2,不妨设x 1 1 x1 ，、一的交点为x1,2 , 1,0 ,XiX2y1y22,故选C.考点：函数图象的性质【名师点睛】如果函数f (x)x D，恒有 f (a x)f (b x),那么函数的图象有对称轴 x如果函数f(x),x D,满足 x D,恒有f(a x) f(b x),那么函数的图象有对称中心2.12016高考山东理数】已知函数3f(x)的定义域为R.当x0时，f (x) x 1 ;当1 x 1时，f( x)f(x)；当1x 一时,
9、21 f(x 2)1 f(x 2).则 f(6)=(A) ?2(B) ?1(C) 0【答案】D考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.分段函数.(D) 2【名师点睛】本 题主要考查分 段函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.3.【2016年高考四川理数】已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x1时，f (x) 4x,则f( I)f(1) 二【答案】-2考点：函数的奇偶性和周期性【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，周期
10、性，属于基本题，在求值时,只要把f (一)和f (1),利用奇偶性与周期性化为 2(0,1)上的函数值即可.a,5.【2016高考江苏卷】设f(x)是定义在 R上且周期为2的函数,在区间1,1)上,f (x),00,其中a R.1,59、-) f(二)，则2225f( 5) f( 1)22f (5a)的值是吗)因此 f (5a) f (3) f (1)f( 1)吗)31 -51225考点：分段函数，周期性质【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性,即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未尤其是分段函数结合知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端
11、点是否取到及其所对应的函数值,点处函数值【反馈练习】1.【2016届云南昆明一中高三仿真模拟七数学，理4设函数yf(x)定义在实数集R上，则函数yf(ax)与yf(xa)的图象(A.关于直线y0对称B.关于直线x0对不C关于直线ya对称.关于直线xa对称【答案】D2.【2017届河南夏邑县第高级中学高三文一轮复习周测二数学试卷】已知函数fX是定义在R内的奇函数，且满足0,2时,2015()A.-2B试题分析：由x的周期T4f2015f(3)f(1)f(1)2,故选A.考点：1、函数的奇偶性;2、函数的周期性.3.【2017届河南新乡一中高三9月月考数学,文8】定义在R上的偶函数f(x)满足f(
12、x3)f(x),对xx0,3且xix2,都有f(x1)fM)A.f(49)f(64)试题分析：因为f(xf(81)B.3)f(x),f(49)f(81)f(64)C.f(64)f(49)f(81)D.f(64)f(81)f(49)所以f(x6)f(x3)，及fx是周期为6的函数，结合f(x)是偶函数可彳导,f(49)1,f(64)f2f2,f(81)x，x20,3且xix2,f(xi)f(x2)0得f(x)在0,3上递增，因此f(1)f(2)f(3)，即f(49)f(64)f(81),故选A.x1x2考点：1、函数的周期性；2、奇偶性与单调性的综合.4.【2017届安徽合肥一中高三上学期月考一
13、数学试卷，文12】已知定义在R上的函数f(x)满足：yf(x1)的图象关31于(1,0)点对称，且当x0时恒有f(x3)f(x-)220,2)时,f(x)ex1，则f(2016)f(2015)()a.1e试题分析：yf(x1)的图象关于(1,0)点对称，则f关于原点对称.0时恒有f(x卞，1rf(x一)即函数2fx的周期为2.所以f(2016)f(2015)f011e.考点：函数的单调性、周期性与奇偶性，分段函数.5.【2016-2017学年贵州遵义四中高一上月考一数学试卷，理11】已知函数f(x)2，ax(1x2)与g(x)x2的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是(99A-4,)B-4,02,02,4【答案】C【解析】考点：构造函数法求方程的解及参数范围6.【2017届河北武邑中学高三上周考8.14数学试卷,理9】若对正常数m和任意实数X,
