动态法弹性模量测定实验讲义弹性模量包含扬氏模量（E）和切变模量（G）连同泊松比（p ）共称弹性系数这三 个系数由方程p =2G/E-1所联系，故只要测出其中任意二个系数，第三个系数即能推出弹 性模量是反映材料抵抗形变的能力、也是进行热应力计算，防热和隔热层计算，选用构件材 料的主要依据精确测试弹性模量对强度理论和工程技术都具有重要意义弹性模量测定方 法共有三类：一、静态法（拉伸、扭转、弯曲）该法通常适用于金属试样、在大形变及常温 下测定该法载荷大，加载速度慢并伴有弛豫过程、对脆性材料（石墨、玻璃、陶瓷）不适 用、也不能完成高温状态下测定；二是波传播法（含连续波及脉冲波法）该法所用设备虽较 复杂，在室温下很好用，但因换能器转变温度低及切变换能器价格昂贵，不易获得而受限制; 三、动态法（又称共振法、声频法）：包括：弯曲（横向）共振、纵向共振以及扭转共振法， 其中弯曲共振法由于其设备精确易得，理论同实践吻合度好，适用各种金属及非金属（脆性 材料）以及测定温度能在180°C〜3000°C左右进行而为众多国家采用，美、日、我国均制定了 国家标准，美国标准号为：ASTMC623-71，日本标准号为：JISA1127-1976，我国从1979年至 今已发布三个国家标准，分别是GB1586-79、GB2105-80和GB/T 2105-91。
本实验就是采用动态弯曲共振法测定弹性模量一、 实验目的及要求：1. 1： 了解用动态法测定弹性模量的原理，掌握实验方法；1. 2：掌握外推法，会根据不同径长比进行修正，正确处理实验数据；1. 3：掌握判别真假共振的基本方法及实验误差的计算；1. 4：了解压电体、热电偶的功能、熟悉信号源及示波器和温控器的使用1. 5：培养综合使用知识和实验仪器的能力二、 实验原理：2. 1：对一长度Z》直径d条件下的细长棒，当其作微小横振动（又叫弯曲振动）时，其振动 方程为：生+芯•色=0 （1）式中Y为竖直方向位移，长棒的轴线方向为X，E为试& EI dt2棒的扬氏模量、p为材料密度、S为棒横截面、I为其截面的惯性矩、I = i sy2次用分离变量法求方程（1）的解，令y （x, t ）= X （x T （t） （2）代入（1）有土 • 尘=_p£ • 1 •空 该等式两边分别是变量x和t的函数，这只有都等于一个 X dx 4 EI T dt 2任意常数时才有可能、设为K4,于是有d±L - K 4 X = 0 ； 耳+ 口 • T = 0dx 4 dt 2 P ST（t）= A cosCot +w）设棒中各点均作谐振动，这二个线性常微分方程的通解为:XG）= B chKx+ B shKx+ B cosKx + B sinKx ；123 4由（2）横振动方程的通解为：y（x,t）= （BchKx+ B shKx + B cosKx + B sinKx）• Acos（pt +w）式中1 2 3 4（3）该式通称频率公式推论证明、该式对于任意形状截面，不同边界条件下都是成立的，故我们只要用特定的边界条件下定出常数^代入特定截面的惯性矩，就可得到具体条件下的计算公式。
如将棒悬挂（或支撑）在节点（即处于共振状态时棒上位移恒等于零的位置），此时，边界条件为二端横向作用力 及力矩均为零，即：F =-竺=-EIdx6 3 y = 0 ； 及 M = EI M = 0 艮"8x 2dx 3=0，dX = 0，箜=0，d 2 Xx=0dx 3 x=ldx 2 x=0dx 2 x=ld 3 X8x 3=0，将通解代入边界条件得到：cos K1 • chKl = 14.730，7.583，10.966，14.137可用数值解法求得本征值K和棒长应满足：Kl = 0 式中K 01=0的根对应于静止状态、故将第二个根作为第一个根记作K l，一般将K1对应的频率叫基频，此时棒上波形分布如图1的左部，而K =7.853叫一次谐波对应的波形分布如图21的右部，由图可见，试棒作基频振动时有二个节点、其位置距端面分别为0.2241和0.7761而对一次谐波（K2）共有三个节点、其位置分别在0.1321、0.51和0.8681实验证明：棒上 振动分布确实如此1表1振动级次一节点位置---频率比 表中L为杆的长度级次n基频n=1一次谐波n=2二次谐波n=3节点数节点位0.22410.13210.09410.77610.50210.35610.86810.64410.9061频率比F1f2=2.76f1f3=5.40f10.2241 0.51 0.7761当 d=8mm, 1=180mm 时 £2=2.74 fl （修正值） 我们将第一个本征值K1=4.730/1代入频率公式（3）可得到自由振动时的固有频率。
「（4.730）4EIpS―因对圆形棒有：I=』syds=S —整理后E （圆）=1.6067 •也f 2d 4[1"h 1也能推出上述试样切变模量与共振频率关系： G圆杆=5.093*• f 2d 2 G同理对b为宽度、h为厚度的矩形棒有：E （矩）=0.94644x（4）（5）G 矩形=4.000 * • f2（6）式中：长度1 、直径d、宽b、厚h等几何尺寸均以m为单位，质量m以Kg为单位，频率f 以Hz为单位，计算出弹性模量单位Nm _22. 2：悬挂方式:（图2）图2是常用机械耦合法中的悬丝耦合方式，无论采用图中哪一种悬挂方法都能满足一次悬吊 试样后可相继测出弯曲共振和扭转共振频率的需要，对圆杆，管状试样采用b方式更好，如只测试样的杨氏模量，建议使二根悬丝与试样中轴线处于同一截面内可以推出，对一般金属材料几何尺寸为①5 X 150毫米或①6 X 180毫米f「10心对2.5 X 150毫米的矩形杆fG注8fE . .. … 一 一 「 一 广 ! 1注：共振频率f和固有频率fo是相关的二个不同概念，其关系为：f固有二f共振.11+-Q-式中Q值远大于30,由上式可知以f共振代替f固有所导致的偏差不会大于0.03%， 故我们通常忽略两者差别。
需要指出：(1) ：上述几个公式都是对“长杆”即Z》d的情况下导出，当此条件不能满足时，上述公式 需修正，即：E「E测・「；修正系数T】与径长比及材料的泊松比日有关，当日^0.30,d=8m/m ,=180m/m时，qel.008对切变模量G切=弓测• R，R与形状有关，详见GB2105-912(2) ：当I》d时，对圆杆各次谐波频率的比值为：(f基：％ ： f2=1 : 2.756 : 5.404 : 8.933)当I》d不能满足时(例如对d=8m/m，/ =180m/m )上述频率比应作修正即：fO/f1=1 : 2.74.以上修正详见国家标准GB2105-91三：实验装置：全套实验装置及连线如图3下所示：3’12|33’: r 、: 47…8 !接c0:; :接13（图3）装置各部分叙述如下3-1：功率函数信号发生器，可产生5-550KHz、功率（5W）的信号，有粗调及二级精密（0.1Hz）微调，石英稳频，有方波、正弦波及三角波三种波形输出，本实验使用正弦波，其输出 强度可用分段或连续调节，输出频率数值由6位LED直接显示，本信号发生器还可当外测 频率计（5-100KHz）使用本机装有过载保护，一旦超载，仪器自动切断输出，这应迅速 切断仪器电源并排除故障，约10余秒后重新启动，仪器又能正常工作。
6-I和6-II分别 为激发一接收放大器（其放大倍率分别为10-100倍）专门订购，只在感到自备信号源功 率不足或感到接收信号微弱时才使用，一般情况下采用我厂的信号源及换能器时无需使用 放大器3-2： 2和5为激发和接收换能器，2将电信号变为机械振动信号输入试样，5为接收换能器 用以检测试样振动情况我厂二种换能器均采用压电换能器3-3： 4是试样（圆柱、圆管、矩形均可），对管状或矩形试样计算公式详见GB/T2105-91但 直径必须一致、质量分布必须均匀、试样内部不能有夹渣、气孔及偏析，否则会现多个共 振频率通常采用（p 6-8mm，1160-180（200）mm圆柱试样3-4： 7为示波器，其灵敏度最好为5mV/div以上，但10mV/div的亦勉为可用3-5： 8为加热炉，温度可达1000°C ；推荐在800°C以下工作可延长加热炉的使用寿命3-6： 9是4位数显比例式温度控制器当温控器调节旋扭由1-6档时、其输出电压可在 90V-220V之间连续调节建议低温时采用低档（1-3）、高温时采用高档（4-6）档调节注意只当试样内外温度一致时、测定的数据才是该温度时的真实数据，测定前先确定“设定” 温度，然后拨至“测量”档，这时显示出实际炉温。
注意，当屏上出现1500-1800°C大数 时，说明热电偶热点已开焊需重新焊好或换用热电偶对精确测定，热电偶的冷点应放入0C冰-水混合液中3-7： 10是热电偶，本设备采用K型（镍铭-镍硅）热电偶，理论上测定温度可达1200C，实 际上W1000C才能长期使用，精确测定时热电偶应作校准3-8：图3-B为支撑式支架（我厂特有）激发和接收换能器2-5均可沿横杆AB水平调动位置试样放上，只要二个支持点不正好都在节点，试样无需捆绑就能完成测定实验发现采 用支撑式支架，还能较为方便的测定出一次谐波共振频率四、实验步骤：4. 1：将各设备按图3联接好（注意各设备要接共地线），启动信号发生器，频率置于2.5K 档、连续调节输出频率、此时激发换能器应发出相应声响轻敲桌面，示波器Y轴信号大 小立即变动并与敲击强度有关，这说明整套装置已处于工作状态4. 2：先将二端有刻度的试样放在支撑支架上（注意不要置于二个节点上），由低到高调节输 出频率，直至在某一频率使显示屏上的利萨如图形出现最大值并在Y轴左右摆动，记下 这个频率，然后用听诊器（不要碰试样）或细金属物（例如尖咀镊子）沿轴向移动，看 声强及振动强度是否按图1发生变化。
可以发现：当金属物触及二个节点时、示波器波 形变化不大，而触及腹点时，示波器示值很快减少4. 3：若示波器显示信号太大或太小时可适当调节信号源的输出或示波器的放大倍率使波形 大小合适，继续升高频率大约在2.74倍处看是否能测出一次谐波共振频率4. 4：变动支撑点，作f-位置曲线，用外推法推出节点的共振频率4. 5：换用其它三种试样、验证直径-长度和共振频率的关系是否符合（3） - （6）式34. 6：将耐热试样用高温悬丝捆好，室温S500P以下采用@0.1左右铜C丝,500s1000P采 用Ni-GrC挂在悬挂支架上测出基频建议采用在接近二端激发-接收方式以取得最好效 果测出基频并确认无误后再将试样放入炉内，将试样二端调整在炉腔中心，再用保温棉 堵住（除悬丝附近留二个小孔外）所有部位（包括二端）一定要保证二根悬丝和试棒不与任何物体相碰，否则将影响实验进行，有关温控器及加热炉具体操作、详见说明书4. 7：测f-T。