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1、弹簧振子实验报告一、引言实验目的1. 测定弹簧的刚度系数(stiff ness coefficie nt).2. 研究弹簧振子的振动特性，验证周期公式.3. 学习处理实验数据. 实验原理一根上端固定的圆柱螺旋弹簧下端悬一重物后，就构成了弹簧振子.当振子 处于静止状况时,重物所受的重力与弹簧作用于它的弹性恢复力相平衡,这是振子 的静止位置就叫平衡位置.如用外力使振子离开平衡位置然后释放,则振子将以平 衡位置为中心作上下振动.实验研究表明,如以振子的平衡位置为原点(x=0),则当 振子沿铅垂方向离开平衡位置时,它受到的弹簧恢复力F在一定的限度内与振子 的位移x成正比，即F = kx(1)式中的比例
2、常数k称为刚度系数(stiffness coefficient),它是使弹簧产生单位 形变所须的载荷.这就是胡克定律.式(1)中的负号表示弹性恢复力始终指向平衡 位置.当位移x为负值，即振子向下平移时，力F向上.这里的力F表示弹性力与 重力 mg 的综合作用结果.(2)根据牛顿第二定律，如振子的质量为m,在弹性力作用下振子的运动方程为:m 2 + kx = 0dt2令32 =也，上式可化为一个典型的二阶常系数微分方程込+ 2 = 0，其解 mdt20为x = A sin（30上 + 0）（3）（3）式表明.弹簧振子在外力扰动后，将做振幅为A,角频率为3。的简谐振 动，式中的（0t+ 0 ）称为
3、相位，0称为初相位角频率为3。的振子其振动周期 为T0=2n，可得3。4)（4）式表示振子的周期与其质量、弹簧刚度系数之间的关系，这是弹簧振子的最基本的特性.弹簧振子是振动系统中最简单的一种，它的运动特性（振幅，相 位，频率，周期）是所有振动系统共有的基本特性，研究弹簧振子的振动是认识 更复杂震动的基础.弹簧的质量对振动周期也有影响.可以证明，对于质量为的圆柱形弹簧， 振子周期为5)T = 2nJm+mp/3式中叭/3称为弹簧的等效质量，即弹簧相当于以叭/3的质量参加了振子的 振动.非圆柱弹簧（如锥形弹簧）的等效质量系数不等于1/3.我们选用短而轻的弹簧并配备适当重量的砝码组成振子，是实验条件
4、与理论 比较相符.在此基础上测振子周期，考察振子质量和弹簧刚度系数对周期的影响， 再将所得结果与理论公式比较，并探讨实验中存在的问题.实验仪器装置游标高度尺，电子天平，弹簧，砝码，秒表二、实验步骤1. 测弹簧质量和刚度系数先测出弹簧的质量和刚度系数，测量时要分清弹簧的标记色，避免测周期是 把数据弄混.弹簧的刚度系数可用静力平衡法测定，即在悬挂好的弹簧下端逐次 加挂砝码，设其质量为伽,m2, m3, m4,叫，然后取叫为自变量、儿=卩。为 因变量作直线拟合，斜率b的绝对值即为弹簧的刚度系数.（也可对工拟合做I,1出直线斜率，再乘以g=9.801ms2 ）.为测准叫，应选一能正确反映弹簧伸长的标
5、志线或面，而且要保证高度尺能方便地校准.实验中砝码和弹簧质量要求读到 0.01g.2.对同一弹簧测不同振子质量时的周期人，验证T2叫之间的规律选一弹簧，测量5或6个不同质量下的振动周期，每次固定读取连续100 个 （或50个）周期的时间间隔，同一质量下测3次，取其平均值来计算结果人， 实验前预先拟好数据表格.（ 5）式改写为方程m = T2 虫4兀23(6)对测量数据作以卩2为自变量、m为因变量的最小二乘法直线拟合.可由直线 的斜率与截距求得刚度系数k与弹簧的质量.3. 对几乎相同的振子质量测不同弹簧的周期，验证Tk.之间的规律.砝码质量可选定大于0.300kg的某合适值，用不同弹簧测量振子周
6、期，每次 测量仍固定读取连续100个（或50个）周期的时间间隔，同一弹簧测3次周期， 取其平均值作为结果片.不同弹簧的振子总等效质量可能略有不同.下面的数据处理中计算总振子质 量时，近似的统一加上弹簧平均质量的 1/3，经过分析可以得知，这样不同弹簧 的振子总等效质量与近似值的差别不大于0.15%，折合成的等效周期测量误差不 大于 0.08%，即使不对质量因素进行修正，其影响也不太大.方程（5）可以变换 成(7)可对测量数据作以叫为自变量、lnT.为因变量进行直线拟合.三、数据分析1. 砝码质量与弹簧质量其中质量测量的不确定度均为6m =0.0001g砝码编号123456789砝码质量m.1（
7、g）10.3110.4910.2110.0710.3910.2610.3410.2410.16表1砝码的质量带标记的弹簧无（较小）红色黄色橙色蓝色无（较大）质量m00i(g)30.1633.2034.6039.2340.7243.61表2弹簧的质量2. 测量弹簧的 k 值其中长度测量的不确定度均为& = 0.01mm.表中长度单位均为mm.读数指 弹簧最下端在游标高度尺上的读数.悬挂砝码数0456789悬挂砝码总质量(g)041.0751.4561.7272.0682.3092.46叫g (n)00.4030.5040.6050.7060.8070.906无(较小)弹簧读数403.4376.8
8、369.9362.7355.4347.6340.8红色弹簧读数402.3380.2370.8361.4352.2343.1333.7黄色弹簧读数404.5389.5380.4368.3355.0342.8330.6橙色弹簧读数375.7315.7299.8284.2267.2252.5236.0蓝色弹簧读数381.2320.3303.3286.0267.0250.5233.5无（较大）369.5286.5264.7241.8219.8196.4173.0弹簧读数表3 悬挂不同砝码的各弹簧读数F面是以读数为自变量,为因变量进行直线拟合所得的图像:y = -14.4l*x +5.826n Ei _
9、:;|:-.-.:.:尢R2 = 0.9991 子莎 0365?53 珏F匚无（汽冲君匸邙m图1无（较小）弹簧mg-xy = -Wx+5.207R2 = 0.9810 330.3C.35 C 360 370.38C.390 40.C.42红色弹簧读数tm)图2红色弹簧的mg-xy = -ID.9B*x.BR2 = 0.91733.360 3S2.4黄色弹簧读数(rn)0 422.44图3黄色弹簧的mg-xy = -B.4B3*x* 2.442R2 = 0.999622门llj2.240.250.25Q.3橙色弹簧读数0 320 3：.36：.38-,nj图4橙色弹簧的mg-xnFyJ-l一.廿
10、2y = - G-089*x + 2.338R2 = 0.99830.220.240.26u.230 3 u 32 0玄 0 350 3E 2.4蓝色弹簧读数(n)图5蓝色弹簧的mg-x27护百貫.=聖.二图6无（较大）弹簧mg-x由拟合直线的斜率可以求得各弹簧的刚度系数见下表弹簧无（较小）红黄橙蓝无（较大）刚度系数k（N/m）14.4112.7910.986.4836.0894.613表4各弹簧的刚度系数3.对同一弹簧测不同振子质量时的周期人，验证T2叫之间的规律选定蓝色的弹簧，测量不同振子质量尬了时的周期人如下表:砝码个数3456砝码质量（g）30.999841.067451.454361
11、.716950个周期时间（1）（秒）28.0030.9133.6536.2250个周期时间（2）（秒）27.9730.8733.6636.1650个周期时间（3）（秒）28.0330.9733.6936.22平均每个周期 时间7；（秒）0.5600.6180.6730.724T （秒八2）0.3140.3820.4530.524表5同一弹簧测不同振子质量时的周期7；以*为自变量，m.为因变量进行线性拟合，得到下图由直线可得m-T.2满足线性关系.由斜率计算蓝色弹簧得刚度系数为5.772N/m.由 截距算的蓝色弹簧的质量为44.49g.4. 对几乎相同的振子质量测不同弹簧的周期，验证T-k.之间
12、的规律.选定4个砝码不变.换用不同的弹簧，测得周期数据如下表：弹簧1叫50个周50个周50个周平均每1nT.1期时间期时间期时间个周期（1）（2）（3）时间人（秒）（秒）（秒）（秒）红12.792.54921.8821.9321.900.438-0.826黄10.982.39622.1022.0622.030.441-0.819橙6.4831.86929.0029.0029.000.58-0.545蓝6.0891.80630.9130.8730.970.618-0.481无（较大）4.6131.52935.1935.1635.160.703-0.352图8不同弹簧的T-k.之间的规律四、 误差
13、分析1. 测量弹簧的 k 值的误差分析见下表弹簧无(较小)红黄橙蓝无(较大)刚度系数(N/m )14.4112.7910.986.4836.0894.613r0.0180.0230.0290.0910.1030.179A0.0100.0460.0950.0060.0140.010不确定度(N/m )0.200.801.480.050.120.06综上,各弹簧的刚度系数见下表弹簧无（较小）红黄橙蓝无（较大）刚度系数14.41 土12.79 土10.98 土6.483 土6.089 土4.613 土(N/m)0.200.801.480.050.120.062.验证卩2 m.之间的规律的误差分析r = 0.098A y = 8.62 X 105kA =AB = 5.499 X 1044兀2由上式得出A k = 4兀2 A B = 0.0217N/m所以由拟合直线计算蓝色弹簧的刚度系数为k = 5.7717 0.0217（N/m）这个结果与重力
