《概率统计计算与证明题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率统计计算与证明题（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、精品文档三、（8 分）在一天中进入某超市的顾客人数服从参数为的泊松分布，而进入超市的每一个人购买A 种商品的概率为p ，若顾客购买商品是相互独立的，求一天中恰有 k 个顾客购买 A 种商品的概率。解：设B一天中恰有 k 个顾客购买 A 种商品k0, 1,Cn一天中有 n 个顾客进入超市nk, k1,则 P(B)P(Cn B)P(Cn ) P(B | Cn )n kn knCnk pk (1 p)n knkn!e( p)ken kp)n kk !(1nk (n k )!(p)kepk 0,1, .k !四、（ 10 分）设考生的外语成绩（百分制）X 服从正态分布，平均成绩（即参数 之值）为72
2、分， 96以上的人占考生总数的2.3%，今任取 100 个考生的成绩，以 Y表示成绩在60 分至 84 分之间的人数，求（1） Y 的分布列 . （2）EY和DY.(2)0.977,(1)0.8413)8472解：（ 1） Y B(100,p) ，其中 pP(60X84)()( 6072) 2 (12) 1由0.023P( X96)1( 9672 )1( 24)得(24)0.977，即242 ，故121所以p 2(1)10.6826 .故 Y 的分布列为P(Yk )C100k (0.6826) k (0.3174)100 k（ 2） EY 1000.682668.26， DY68.260.31
3、7421.6657.五、（ 10 分）设 ( X , Y) 在由直线 x1, xe2,y0 及曲线 y1 所围成的区域x上服从均匀分布，（ 1）求边缘密度f X ( x) 和 fY ( y) ，并说明 X 与 Y 是否独立 .（2）求 P( XY2) .解： 区域 D 的面积 SDe21ln xe22dx11xy( X ,Y) 的概率密度为D1(x, y) D,y= 1/xf ( x, y) 20 ,其它.01e2x精品文档（ 1） f X ( x)f (x, y)dy1x 1 dy,1xe2 ,020,其它.1,1 xe2 ,2 x0,其它.e21dx,1ye2,12fY ( y)f ( x
4、, y)dx1y1dx ,e2y1,120,其它1 (e21),1ye 2211,e 2y12y20,其它（ 2）因 f ( x, y)f X ( x)f Y ( y) ，所以 X ,Y 不独立 .（3） P(XY2)1P(XY2)1f ( x, y)dxdy1 111130.75 .x y22244六、（ 8 分）二维随机变量(X,Y) 在以 (1,0),(0, 1),(1, 0) 为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求ZXY 的概率密度。解 1：y(X , Y) 的概率密度为f ( x, y)1,( x, y)D,0,其它.设 Z 的概率密度为f Z ( z) ，则D 1fZ ( z)f (
5、 zy,y)dy10xx+y=z1f ( z y,y)1,0y1, 2 y1z10,其它z当 z1或 z 1 时 fZ ( z) 0yz1z11当 1z 1时 fZ ( z)2dy020y所以 Z 的密度为 1.精品文档fZ ( z)z1 ,| z |1,20,其它.解 2：分布函数法，设Z 的分布函数为FZ ( z) ，则FZ ( z) P(Zz)P( XYz)f ( x, y)dxdyxy z0,z10,z1,( z1)2dxdy ,1z1,1z1,4D11,z1.1,z1故 Z 的密度为z 1,| z |1,f Z ( z)FZ ( z)20,其它.七、（ 9 分）已知分子运动的速度X 具有概率密度4x2(x)2
