《高考数学一轮复习第八章解析几何第49讲直线与圆圆与圆的位置关系学案》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学一轮复习第八章解析几何第49讲直线与圆圆与圆的位置关系学案(12页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第49讲直线与圆、圆与圆的位置关系考纲要求考情分析命题趋势1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系2能用直线和圆的方程解决一些简单的问题3初步了解用代数方法处理几何问题的思想.2016全国卷,42016全国卷,162015重庆卷,82015江苏卷,10圆的方程、直线与圆的位置关系在高考中几乎是年年考,一般单独命题但有时也与圆锥曲线等知识综合,重点考查函数与方程,数形结合及转化与化归思想的应用.分值:5分1直线与圆的位置关系(1)三种位置关系:_相交_、_相切_、_相离_(2)两种研究方法(3)圆的切线方程的常用结论过圆x2y2r2上一点P(x
2、0,y0)的圆的切线方程为x0xy0yr2.过圆(xa)2(yb)2r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.过圆x2y2r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0xy0yr2.2圆与圆的位置关系设圆O1:(xa1)2(yb1)2r(r10),圆O2:(xa2)2(yb2)2r(r20).方法位置关系几何法:圆心距d与r1,r2的关系代数法:两圆方程联立组成方程组的解的情况外离_dr1r2_无解_外切_dr1r2_一组实数解_相交|r1r2|dr1r2_两组不同的实数解_内切d|r1r2|(r1r2)_一组实数解_内含_0d|
3、r1r2|(r1r2)_无解_1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)如果直线与圆组成的方程组有解,则直线与圆相交或相切()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切()(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交()(4)从两圆的方程中消掉二次项后所得的方程为公共弦所在直线方程()(5)过圆O:x2y2r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点为A,B,则O,P,A,B四点共圆且直线AB的方程是x0xy0yr2.()解析 (1)正确直线与圆组成的方程组有一组解时,直线与圆相切,有两组解时,直线与圆相交(2)错误因为除外切外,还可能内切(3)错误因为除小于两半径和
4、还需大于两半径差的绝对值,否则可能内切或内含(4)错误只有当两圆相交时,方程才是公共弦所在的直线方程(5)正确由已知可得O,P,A,B四点共圆,其方程为2222,即x2y2x0xy0y0,又圆O方程为x2y2r2,得x0xy0yr2,而两圆相交于A,B两点,故直线AB的方程是x0xy0yr2.2圆(x1)2(y2)26与直线2xy50的位置关系是(B)A相切B相交但直线不过圆心C相交且直线过圆心D相离解析 由题意知圆心(1,2)到直线2xy50的距离d,且21(2)50,因此该直线与圆相交但不过圆心3圆O1:x2y22x0和圆O2:x2y24y0的位置关系是 (B)A相离B相交C外切D内切解析
5、 圆O1的圆心为(1,0),半径r11,圆O2的圆心为(0,2),半径r22,故两圆的圆心距|O1O2|,而r2r11,r1r23,则有r2r1|O1O2|r1r2,故两圆相交4圆x2y24x0在点P(1,)处的切线方程为(D)Axy20Bxy40Cxy40Dxy20解析 圆的方程为(x2)2y24,圆心坐标为(2,0),半径为2,点P在圆上,设切线方程为yk(x1),即kxyk0,2,解得k.切线方程为y(x1),即xy20.5直线x2y50与圆x2y2 8相交于A,B两点,则2.解析 如图,取AB中点C,连接OC,OA,则OCAB,|OA|2,|OC|,|AC|,|AB|2|AC|2.一直
6、线与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系时,通常利用圆心到直线的距离,注意求距离时直线方程必须化成一般式【例1】 (1)直线l:mxy1m0与圆C:x2(y1)25的位置关系是(A)A相交B相切C相离D不确定(2)若直线yxb与曲线x恰有一个公共点,则b的取值范围是 (D)Ab(1,1BbCbDb(1,1或b解析 (1)由题意知,圆心(0,1)到直线l的距离d1,故直线l与圆相交(2)由x知,曲线表示半圆(如图所示),当1b1时,直线yxb与半圆有一个公共点;当直线与半圆相切时,也与半圆只有一个公共点,此时1(b1),解得b.二弦长问题求直线被圆所截得的弦长时,通常考虑弦心距、垂线段作为直角边的
7、直角三角形,利用勾股定理来解决问题【例2】 已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x2)2(y3)21交于M,N两点(1)求k的取值范围;(2)若12,其中O为坐标原点,求.解析 (1)由题设可知直线l的方程为ykx1.因为直线l与圆C交于两点,所以1,解得k4,点M在圆C外部当过点M的直线斜率不存在时,直线方程为x3,即x30.又点C(1,2)到直线x30的距离d312r,即此时满足题意,直线x3是圆的切线当切线的斜率存在时,设切线方程为y1k(x3),即kxy13k0,则圆心C到切线的距离dr2,解得k.切线方程为y1(x3),即3x4y50.综上可得,过点M的圆C的切线方程为x
8、30或3x4y50.|MC|,过点M的圆C的切线长为1.四圆与圆的位置关系(1)处理两圆的位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断,一般不采用代数法(2)若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到【例4】 已知圆C1:(xa)2(y2)24与圆C2:(xb)2(y2)21.(1)若圆C1与圆C2外切,求ab的最大值;(2)若圆C1与圆C2内切,求ab的最大值;(3)若圆C1与圆C2相交,求公共弦所在的直线方程;(4)若圆C1与圆C2有四条公切线,试判断直线xy10与圆(xa)2(yb)21的位置关系解析 (1)由圆C1与圆C2相外切,可得213,即(ab)29,根据基本不等式
9、可知ab2,当且仅当ab时等号成立,ab的最大值为.(2)由C1与C2内切得1,即(ab)21,又ab2,当且仅当ab时等号成立,可知ab的最大值为.(3)由题意得,把圆C1,圆C2的方程都化为一般方程圆C1:x2y22ax4ya20,圆C2:x2y22bx4yb230,由,得(2a2b)x3b2a20,即(2a2b)x3b2a20为所求公共弦所在的直线方程(4)由两圆存在四条切线,可知两圆外离,故3.(ab)29,即ab3或ab1,直线xy10与圆(xa)2(yb)21相离1(2018广东揭阳一模)已知直线xyk0(k0)与x2y24交于不同的两点A,B,O为坐标原点,且|,则k的取值范围是
10、(B)A(,)B,2)C,)D,2)解析 由已知得圆心到直线的距离小于半径,即,又k0,故0k2.如图,取AB的中点为M,则由|得2|O|2M|,即|,即MBO,因为|OB|2,sinMBOsin,所以|OM|1,即1,所以k.综合得,k0,结合图象,再利用半径、弦长的一半及弦心距构成直角三角形,可知1a1.4点P在圆x2y28x4y110上,点Q在圆x2y24x2y10上,则的最小值为33.解析 圆x2y28x4y110的标准方程为(x4)2(y2)29,圆x2y24x2y10的标准方程为(x2)2(y1)26.|PQ|min两圆圆心距Rr(R,r分别为两圆半径),圆心距d3,|PQ|min33.易错点缺乏转化思想致误错因分析:不能将问题等价转化为两圆的位置关系,而是根据题意设出直线方程,利用点到直线的距离公式建立等式,但因运算太复杂而无法求解【例1】 在平面直角坐标系xOy中,若与点A(2,2)的距离为1且与点B(m,0)的距离为3的直线恰有两条,则实数m的取值范围为_解析 因为与点A(2,2)的距离为1的直线都是以点A(2,2)为圆心,半径为1的圆的切线,与点B(m,0)的距离为3的直线都是以点B(m,0)为圆心,半径为3的圆的切线,所以与点A(2,2)的距离为1且与点B(m