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1、专业整理WORD完美格式椭圆题型总结、焦点三角形2 21. 设Fi、F2是椭圆 1 y 1的左、右焦点，弦 AB过巨求 ABF1的面积的最大值。2（法一）解：如图，设ZXF2B - : (0 ：:：二),| AF2 |= m, |根据椭圆的定义,|AF1 | = 2.3 _m , | BF1 | = 23 n ,在A AF2F和A BF2Fi中应用余弦定理，得(2 .3 -m)(2 3n)2 =4 n22 2二4 m -4m cos 二4ncos 1, m=t-1 ,S abf1 = 431, t 1,+ 00) 4t 打 +4 1,+ :）上单调递增，且f(t) 9,t=1 即 m=0 时,
2、注意：上述AB的设法:4 3 。3x=my+1,方程中的m相当于直线A ABFi的面积的最大值为AB的斜率的倒数，但又包含斜率不存在的情况,即m=0的时候。在直线斜率不等于零时都可以这样设，往往可使消元过程简单化，而且避免了讨论。由 PM PN =,得 PM1 cosMPNLPN cosMPN 二 PM| |PN| 2.因为cosMPN -1,P不为椭圆长轴顶点，故P、M N构成三角形.在厶PMN中,MN =4,由余弦定理有将代入，得42 = PMMN2=PM2-2 PM LJPN cosMPN .2+ PN-2( PM LJPN -2).故点P在以M N为焦点，实轴长为223的双曲线千宀1上
3、.由(I)知，点P的坐标又满足 =1，所以由方程组95 2 25x 9y =45,2 2x 3y =3.解得33x =2y =.2即P点坐标为3 ,32. 如图，M(-2 , 0)和N (2, 0)是平面上的两点，动点P满足：PM + PN =6.(1) 求点P的轨迹方程；(2)若PM -PN =，求点P的坐1 cosZMPN 标.解： 由椭圆的定义，点 P的轨迹是以 M N为焦点，长轴长 2a=6的椭圆.因此半焦距c=2，长半轴a=3,从而短半轴b= a2 _ c2 = .5，所2 2以椭圆的方程为Xy1.95、点差法定理在椭圆=1 ( a b 0 )中，若直线l与椭圆相交于M N两点，点P
4、(x, y0)是弦MN2 的中点，弦MN所在的直线l的斜率为kMN，则kMN 匹=.X。a2 23. 直线I经过点A(1 , 2)，交椭圆 + =1于两点P、F2,3616(1 )若A是线段P1P2的中点，求I的方程；(2)求P1P2的中点的轨迹.解：(1)设 Pi(xi, yi)、Pa(x2, y2),f 22工+生=i 则3616 2X22 y_=i3616_ (xi X2)(xi -X2) (yi y2)(yi y?) 0十3616 A(1 , 2)是线段 P1P2的中点， xi +X2=2,yi+y2=4.2(为一X2)土4(% y2)_0，即 yi y?Xi -X236-， l 的方
5、程为 y=_2(x_1)2，即 2x+9y-20=0 .9(2) 设 PiP2的中点 M(x, y)，则 Xi +X2=2X, yi+y2=2y,代入*式，得k _ F % _ 4X，又直线I经过点A(1 ,x1 -x29y整理，得4x(x-I)+9 y(y-2)=0 , PiP2的中点的轨迹:1 2(x2) _52.(y-i)210=i2y =1有两个不同的交点P和4.在直角坐标系xOy中，经过点(0, .2)且斜率为k的直线I与椭圆Q.(i )求k的取值范围;(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为 A B,是否存在常数k，使得向量OP - OQ与AB共线？如果存在，求 k的取值范
6、围；如果不存在，请说明理由解：(I)直线I的方程为y二kx 2.y = kx 2,2 y2L2得:=1.(2k2 - 1)x2 4 2kx 2 =0.直线 l 与椭圆2X2y2 =1有两个不同的交点,2UOQ -He、一 、 2 )0.解之得：k 一 -二心=32k2-8(2k2(2)在椭圆x y22=i中，焦点在x轴上,a一2,b=1 , A(.2,0),B(0,1),AB 珂-.2,1).设弦 PQ的中点为 M(x0,y0)，则 OM =(x0,y10).由平行四边形法则可知:E：IF，+OP 0Q=20M. OP 0Q与 AB共线，.OM 与 AB共线yoXo1，从而Xoyo由kpQyo
7、Xob2得:2kJ由(1)可知k丄时，直线i与椭圆没有两个公共点,2不存在符合题意的常数 k.三、最值问题25. 已知P为椭圆 +y2 =1上任意一点，M( m o) ( m R),求PM的最小值。4目标：复习巩固定点与圆锥曲线上的点的连线段的最值问题。提示：设P(x,y)，用距离公式表示出 PM利用二次函数思想求最小值。解：设 P(x,y) , PM= (x m)2 y2一；2 -厂二2 m3 ，(1)x -2,2，结合相应的二次函数图像可得4m-2，即 m3 时，(PM)min=|m+2| ;32(2)-2W 4m w 2,即-3 m2,l卩 m2 时，(PM)min=|m-2|.32(1
8、)类似的，亦可求出最大值；(2)椭圆上到椭圆中心最近的点是短轴端点，最小值为点是长轴端点，最大值为a; (3)椭圆上到左焦点最近的点是长轴左端点，最小值为a-c ,b，最远的最远的点是长轴右端点，最大值为 a+c;x26. 在椭圆y2 =1求一点P,是它到直线I : x+2y+10=0的距离最小，并求最大最小值。4目标：复习研究圆锥曲线上的点与直线的距离问 般处理方法。题的一切线与程。提示：(1)可等价转化为与直线 I平行的椭圆的 直线I之间的距离；(1 )也可以用椭圆的参数方2解法一：设直线m x+2y+m=0与椭圆 Z+yi 225(2 ) SaABF1 = | OF | ( X1- X
9、2|=4 J2 , 当 k=0 时，(SL ABF1)Max=12o Y25+9k=i相切，则4x 2y m =0，消去 x，得 8y2+4my+rr-4=0, =0,解得 m=_2.2 .当m=2 、2时，直线与椭圆的切点 P与直线I的距离最近，最近为,此时点P的坐V55标是（_ . 2 ,）；当m=-2 2时，直线与椭圆的切点 P与直线I的距离最远，最远为，此时点P的V55坐标是（.2, 2）。2解法二：设椭圆上任意一点 P（2cos 0 ,sin 0 ）,0,2二）则P到直线I的距离为|2csr 2sin r 10|_4 10V5亦当0二一时，p到直线i的距离最大，最大为 2 5此时点p
10、的坐标是.2,2）；452当0 =主 时，P到直线|的距离最小，最小为 2.5-乙卩，此时点P的坐标是（- 2,2 ）。452说明：在上述解法一中体现了 “数形结合”的思想，利用数形结合顺利把点与直线的距离问题迅速转化成两平行线间的距离。在解法二中，利用椭圆的参数方程可迅速达到消元的目的，而且三角形式转换灵活多变，利用正余弦的有界性求最值或取值范围问题是一个不错的选择。2 27. 设AB是过椭圆 y1中心的弦，Fi是椭圆的上焦点，925(1 )若厶ABF面积为4 .5，求直线 AB的方程；(2)求厶ABF面积的最大值。2 2解：(1)设AB： y=kx，代入椭圆(=1 ,925/曰 2_1_2
11、25 v v _225得 X =2 =2 ， X1=-X2= 2 ，1k25+9k2V25+9kI 925又，SL abh= 1 | OF| x 仁 X2|=2| X1-X2|=4 75 , I X1-X2F2 J5 ,2 225 2 =5,. k=,直线 AB的方程为 y=xo25 9k338. （ 2014金山区一模23题）已知曲线C1 :+ = 1（a b 0）所围成的封闭图形的面积为 4J5 ,曲线 a b2J5Ci的内切圆半径为.记曲线C2是以曲线Ci与坐标轴的交点为顶点的椭圆设AB是过椭圆C2中3心的任意弦，I是线段AB的垂直平分线， M是I上异于椭圆中心的点（1）求椭圆C2的标准
12、方程；（2）若MO = mOA（ O为坐标原点），当点A在椭圆C?上运动时，求点M的轨迹方程；（3）若M是I与椭圆C2的交点，求 AABM的面积的最小值2 必=【解答】：（1） C是以（-a, 0）、（0，- b）、（a, 0）、（0 , b）为顶点的菱形，故（必，2=分；4分又ab0,解得：a2=5, b2=4,因此所求的椭圆的标准方程为54（2）假设AB所在的直线斜率存在且不为零，设AB所在直线方程为y=kx（k 0）, A（ xa, yA）,：，|OA2”设 Mx, y)，由题意得：|MO2=m|OA2, (m0)，即J,因为l是AB的垂直平分线，所以直线 l的方程为，代入上式消去 k 得:+宀/苓券，又X2几0,整理得：若+ = 5。）， 当k
