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1、南雄一中八年级数学拓展知识训练（一)分式1、如果=1，求证+=1、已知=，则等于多少?、一种圆柱形容器的容积为立方米，开始用一根小水管向容器内注水,水面高度达到容器高度一半后,改用一根口径为小水管2倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间t分。求两根水管各自注水的速度。4、已知M、=,用+或连结M、N,有三种不同的形式，M+N、-N、M,请你任取其中一种进行计算,并简求值,其中x:=5：2反比例函数:、如图，A和B都与x轴和轴相切,圆心A和圆心都在反比例函数的图象上,则图中阴影部分的面积等于 、如图，已知正比例函数和反比例函数的图像都通过点M（，）,且P(，2）为双曲线上的一点，Q为坐标
2、平面上一动点，P垂直于x轴,QB垂直于轴,垂足分别是、B(）写出正比例函数和反比例函数的关系式;(2)当点Q在直线O上运动时，直线O上与否存在这样的点Q，使得OBQ与OP面积相等?如果存在，祈求出点的坐标，如果不存在,请阐明理由； 图113、如图21，在平面直角坐标系中,直线AB与轴和轴分别交于点A、点，与反比例函数y一罟在第一象限的图象交于点c(1,6)、点D(,x).过点C作CE上y轴于E，过点D作上X轴于F （1)求,的值； ()求直线AB的函数解析式；勾股定理：1、清朝康熙皇帝是国内历史上对数学很有爱好的帝王.近日,西安发现了她的数学专著,其中有一文积求勾股法,它对“三边长为3、4、5
3、的整数倍的直角三角形,已知面积求边长”这一问题提出理解法:“若所设者为积数(面积）,以积率六除之,平方开之得数,再以勾股弦各率乘之,即得勾股弦之数”.用目前的数学语言表述是:“若直角三角形的三边长分别为3、5的整数倍，设其面积为S,则第一步:=m;第二步：=k；第三步:分别用、5乘以k,得三边长” ()当面积S等于10时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长; （2）你能证明“积求勾股法”的对的性吗?请写出证明过程、一张等腰三角形纸片，底边长cm,底边上的高长2.m现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为cm的矩形纸条,如图所示.已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ )A
4、.第4张 B.第5张 C第6张 D第7张3、恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世出名的恩施大峡谷和世界级自然保护区星斗山位于笔直的沪渝高速公路同侧，、到直线的距离分别为和，要在沪渝高速公路旁修建一服务区，向、两景区运送游客.小民设计了两种方案，图（）是方案一的示意图(与直线垂直，垂足为)，到、的距离之和,图(2)是方案二的示意图（点有关直线的对称点是,连接交直线于点），到、的距离之和.（1)求、，并比较它们的大小;()请你阐明的值为最小;(3)拟建的恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直，建立如图（3)所示的直角坐标系，到直线的距离为,请你在旁和旁各修建一服务区、,使、构
5、成的四边形的周长最小.并求出这个最小值BAPX图（1）YXBAQPO图（3）BAPX图（2）DCEBGAF4、已知:如图，在直角梯形ABC中,ADC,AB=0，DEAC于点F,交BC于点G,交B的延长线于点E,且（1)求证：;（）若，求B的长分式:一：如果bc=,求证+=1解:原式= + 1二：已知=,则+等于多少?解：+=2（)=924=92(）=三:一种圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水,水面高度达到容器高度一半后,改用一根口径为小水管倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间t分。求两根水管各自注水的速度。解：设小水管进水速度为x，则大水管进水速度为x。由题意得
6、：解之得：经检查得:是原方程解。小口径水管速度为，大口径水管速度为。四:联系实际编拟一道有关分式方程的应用题。规定表述完整,条件充足并写出解答过程。解略五：已知=、N,用“”或“-”连结M、N,有三种不同的形式，M+N、M-、,请你任取其中一种进行计算，并简求值，其中：y=：。解:选择一:,当=时，原式=.选择二：,当=52时，原式=选择三:,当52时,原式反比例函数:一:一张边长为6m正方形的纸片，剪去两个面积一定且同样的小矩形得到一种“E”图案如图所示.小矩形的长x(cm)与宽y(m)之间的函数关系如图2所示:(）求y与x之间的函数关系式;（）“E”图案的面积是多少?(3）如果小矩形的长是
7、6xcm，求小矩形宽的范畴.解:（1)设函数关系式为函数图象通过(0,2) k=20, (） xy20, (）当x=6时， 当x=2时, 小矩形的长是6x1cm，小矩形宽的范畴为二：是一种反比例函数图象的一部分，点,是它的两个端点111010ABOxy（1）求此函数的解析式，并写出自变量的取值范畴;（2)请你举出一种能用本题的函数关系描述的生活实例.解:(1）设,在图象上，即,其中；（）答案不唯一.例如:小明家离学校,每天以的速度去上学，那么小明从家去学校所需的时间.三:如图,A和B都与x轴和y轴相切,圆心和圆心B都在反比例函数的图象上,则图中阴影部分的面积等于 . 答案：r=1 r四：如图1
8、,已知正比例函数和反比例函数的图像都通过点(,),且P（,2)为双曲线上的一点,Q为坐标平面上一动点,PA垂直于x轴，QB垂直于y轴,垂足分别是A、B. （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式;(2)当点Q在直线上运动时，直线M上与否存在这样的点Q，使得O与O面积相等?如果存在，祈求出点的坐标，如果不存在，请阐明理由; 图12图11（）如图12,当点在第一象限中的双曲线上运动时,作以P、Q为邻边的平行四边形PCQ,求平行四边形OC周长的最小值.解：(1)设正比例函数解析式为,将点M(，)坐标代入得,因此正比例函数解析式为同样可得,反比例函数解析式为 (2)当点在直线DO上运动时,设点的坐标为
9、， 于是,而,因此有，解得 因此点的坐标为和 ()由于四边形OC是平行四边形，因此OPC，Q=PC,而点(,)是定点，因此的长也是定长，因此规定平行四边形CQ周长的最小值就只需求O的最小值.由于点Q在第一象限中双曲线上,因此可设点的坐标为，由勾股定理可得，因此当即时，有最小值4，又由于O为正值,因此Q与同步获得最小值,因此Q有最小值2.由勾股定理得OP,因此平行四边形OPCQ周长的最小值是.五：如图,在平面直角坐标系中，直线AB与Y轴和轴分别交于点、点,与反比例函数一罟在第一象限的图象交于点c(，6)、点（3,x)过点C作CE上y轴于E,过点D作D上X轴于 (）求，的值;(2)求直线AB的函数
10、解析式；勾股定理：一:清朝康熙皇帝是国内历史上对数学很有爱好的帝王近日,西安发现了她的数学专著,其中有一文积求勾股法，它对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形,已知面积求边长”这一问题提出理解法：“若所设者为积数（面积),以积率六除之，平方开之得数,再以勾股弦各率乘之,即得勾股弦之数”.用目前的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为,则第一步：=m;第二步：k;第三步:分别用3、4、乘以k,得三边长”. （1）当面积S等于150时,请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长; （)你能证明“积求勾股法”的对的性吗?请写出证明过程.解：()当=15
11、时,k=5,因此三边长分别为:3=15，452，555；(2)证明：三边为、5的整数倍,设为k倍，则三边为3k,k,5k,而三角形为直角三角形且3k、为直角边其面积=（3)（4)=6k，因此k2=,k(取正值)，即将面积除以，然后开方，即可得到倍数二：一张等腰三角形纸片,底边长5cm,底边上的高长225cm现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ).第4张 .第5张 C第6张 .第7张答案:C三:如图,甲、乙两楼相距0米,甲楼高米,小明站在距甲楼1米的处目测得点与甲、乙楼顶刚好在同始终线上,且与相距米,若小明的身高忽视不计
12、,则乙楼的高度是 米20米乙CBA甲10米？米20米答案:40米四:恩施州自然风光无限,特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.出名的恩施大峡谷和世界级自然保护区星斗山位于笔直的沪渝高速公路同侧,、到直线的距离分别为和，要在沪渝高速公路旁修建一服务区,向、两景区运送游客.小民设计了两种方案，图(1）是方案一的示意图(与直线垂直,垂足为），到、的距离之和,图(2）是方案二的示意图（点有关直线的对称点是,连接交直线于点)，到、的距离之和.()求、,并比较它们的大小;()请你阐明的值为最小;(）拟建的恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直，建立如图(3)所示的直角坐标系,到直线的距离为,请你在旁和旁各修建一服务区、，使、构成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.BAPX图（1）YXBAQPO图（3）BAPX图（2）解:图(1）中过B作AP，垂足为C,则PC40，又AP=1,AC30 在RtBC 中，AB50 A=30 C=40 BP=S=图()中，过作BCAA垂足为,则A=50，又BC40B=由轴对称知:P=PAS2=BA= （2)如图(2),在公路上任找一点M，连接MA,MB，MA,由轴对称知AMB+A=MBMAA
