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1、计算方法第一章1. 设某量的准确值为X,近似值为X*,则称啜少x-x*为近似值x*的绝对误差；/e(x*)| = |x-x*|W 8,称8为x*的绝对误差限；称 匕仃)=-(鱼=虫至 为x*的相对误差；巧心火卜占氽r气为x*的相对误差限。x2. 对数学问题而言，如果输入数据有微小扰动，引起输出数据(即数学问题的解)有很大扰动，则称数学问题是病态问题，否则称为良态问题。设两个不同的数据x,x,对应的函数值为f (x)，f (x),假设x尹0, f (x)尹0.3. 相对误差e = =,R = f(x) f(x),如果能找到一个数祖满足& mer xIf (x)r则称m为该问题的条件数，记为Con
2、d (f (x)。4. 定义：一个算法如果输入数据有扰动(即有误差)，而计算过程中舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则称此算法为不稳定的。(误差的定性分析法：即研究算法的数值稳定性)5. 数值计算中值得注意的问题：(1)防止相近的两数相减(2)防止大数吃小数(3)防止接近零的数做除数(4)注意计算步骤的简化,减小运算次数6. 误差的来源：1、模型误差2、观测误差3、截断误差4、舍入误差实际问题的真解与数学模型之间有误差，这种误差称为模型误差(描述误差)由于测量工具的精度、观测方法或客观条件的限制,使数据含有测量误差，这类误差叫做观测误差或数据误差在数值求解数学问题时，常常用有限过程逼近
3、无限过程，用能计算的问题代替不能计算的问题。这种精确公式用近似公式代替时，所产生的误差叫截断误差。由于计算机字长有限，一般实数不能精确存储，于是产生舍入误差。第二章6. 如果在区间g加内方程f(x)=0只有一个根，称g加为隔根区间。求隔根区间有两种方法 有描图法和逐步搜索法。7. 二分法就是将方程的有根区间对分，然后再选择比原来区间缩小一半的有根区间，如此继 续下去，直到得到满足精度要求的根为止的一种简单的区间方法。定理2.1： f(x)在a,加内连续，a是方程f(x)在隔根区间a,加内的根，则由二分法产生的数列x收敛于方程的根a,且有误差估计式I x -a | 穿(n = 0,1,)“n2
4、nb a二分法控制误差8常用的方法有(1)先计算对分次数再对分。由亍 log2 j得到满足误差要求的最少对分次数。(2)事后误差估计法,先对分再判断所得中点是否满足误b a差要求(3)由于I x, -a II xn - xn I=故可用I xn - xn 1 I来判断误差。8. 迭代法的求解步骤(1)建立迭代公式。由公式f(x)=0出发将其分解为等价形式x=0(x),式中0(x)叫做方程的迭代函数. 进行迭代计算。由初值x0出发，按迭代函数进行计算xn+1 =中(xn )(n = ,1,2,一)称为迭代公式。数列xn,称为迭代序列。该过程称为迭代过程.9若从任何可取的初值出发都能保证收敛，则称
5、它为大范围收敛。如若为了保证收敛性必须 选取初值充分接近于所要求的根，则称它为局部收敛。定理2.2 (收敛定理)：设方程x=(x)，如果设方程xw(x)，如果(1)迭代函数0(x)在区间a,加可导；(2)当 xea,b时，(x)ea,b ； (3)对于任意的 xea,b，有I中(x) ! L V 1。则有 方程x=(x)在区间a,b上有唯一的根a；对于任意的初值x0ea,b，由迭代公式x =中(x )(n = 0,1,2)产生的数列x 收敛于方程的根a。I x -a |一久I x -x I n+1nnn1 - L n n-1误差估计I x -a I L x - x I定理2.3 (迭代法的局部
6、收敛定理)：设a是方程x=(p(x)的根，如果(1)迭代函数0(x)在a的邻域可导；(2)在a的某个邻域S=x:|x-a| W5 ，对于任意的xgS有1 b(x) I L V 1则对于 任意的初值x0eS，迭代公式xn+1=0(xn)产生的数列xn，收敛于方程的根a。(这时称a 的S领域具有局部收敛性。)收敛法控制误差的方法有：(1)先计算满足误差要求的迭代次数n，再迭代。由,I e (1 L)LlnLIx -aII x1 - x0 I事后误差估计法。由于Ix a lr； L n1-L n n-1而可用Ixnxn_1|来控制迭代过程。 n+110.迭代-加速公式：彳 xn+1* (x )(n
7、= 0,1,2,) 1W(x)(n =。以)= -，x埃特金加速公式：匚祯顼1 - q n+1 1 - q nx x 一 2x =n+2nn+1n+1x 一 2 + xn+2n+1nlim n+1 = c(0 V c V 1), e = |x - axs en定理2.4 :如果由迭代公式xn+1w(xn)产生的数列xn满足收敛于根a ；|。0(n = 0,1,2 .)则由埃特金加速公式产生的数列xn比数列x 较快地收敛于根a，即lim二竺=0nx* xn -af (x )11.牛顿迭代公式：xn+1 = xn - f,(;)n定理2.5 (牛顿迭代法的局部收敛定理)设a是方程f(x)=0的根，
8、如果(1)函数f(x)=0在a的邻域有连续的二阶导数(2)在a的邻域f(x)约 则存在a的某个邻域S = x :I x-a I 0。则由牛顿迭代公式产生的数列收敛于根a。12.定义:设数列七收敛于a,令误差en=七-a，如果存在某个实数p 1及正常数C，使lim= C则称数列x p阶收敛，也称相应的迭代法为p阶方法。当p = 1且0 C 1时，称 数列x 为超线性收敛。n定理2.7:(1)在定理2.3的条件下，且在根a的某个邻域内有中x)尹0，则迭代法是线性 收敛的。(2)在定理2.6的条件下，牛顿迭代法是平方收敛的。13.单点弦截法迭代公式:xn+1n艺一r f (x ) ；双点弦截法迭代公
9、式:/ (x ) - / (x )0n0x = x - L-1/(x ) = xn-1f(xn)f (气-1)(n = 1,2,.)n+1 n / (x ) / (x ) n/ (x ) / (x )nn-1nn-1定理2.8:设a是方程f(x)=0在隔根区间a,b内的根，且满足(1) Vx e,b /(x),/(x)连续且不变号；(2)选取初始值x e,认 使/(x )/(x ) 0。选定a，b中的一个，则x 0001为另一个。则有单点弦截迭代法公式产生的数列收敛于根a。(单点弦截法的收敛阶为1)。 定理29:设方程f(x)=0，如果(1)f(x)在根a的某个邻域具有连续的二阶导数，且7(小
10、0;(2)任 取x0,x1属于该邻域。则由双点弦截迭代法公式产生的数列收敛于根a。(双点弦截法是超线 性收敛，收敛阶为()第三章14. 高斯消元法的求解过程可大致分为两个阶段:(1)把原方程组化为上三角形方程组,称之为 “消元”过程；(2)用逆次序逐一求出上三角方程组(原方程组的等价方程组)的解,称之为“回代” 过程.15. 定义3.1:设A为n阶矩阵，L为n阶下三角阵，U为n阶上三角阵。如果A=LU，则说明 矩阵A实行了三角分解或LU分解。16. 定义3.2:如果L为单位下三角阵，U为上三角阵，则称该三角分解为杜里特(Doolittle) 分解；如果L为下三角阵，U为单位上三角阵，则称A=L
11、U为克劳特(Crout)分解。定理3.1： n阶(n2)矩阵A有唯一杜里特分解(或克劳特分解)的充要条件是A的前n-1 个顺序主子式都不为零。定理3.2:设A为对称正定矩阵，则有非奇异下三角阵L，使A=LLt;当限定L的对角元全为正 时，这种分解是唯一的。17.直接三角分解法公式(Doolittle)： uu = a(j = 1,2,n)l, = a. / u(i = 2,3,n)=a -如l u n akj kjkm mj kjm=1a,k-如mJm=1(j = k, k +1,，n)l iku kkn a (i = k +1,n)(k = 2,3,., n)18.平方根法求解公式：I =
12、J aII 七 11lkk、=a J l11(k = 2,3, ., n)m=1(j = k +1,k + 2,，n ; k = 2,3,，n)l = (a -如 l l )jk l jk km jmkkm=119.追赶法的分解形式及公式:b1a2c1b2an-1bn-1ancn-1bn52p.5n-11L= b 5= 11,1 Lp= a, y =b - p5(i=23,n)i i 1 i ii-15 =y(i=23,n-1)i20.定义3.3设迭代矩阵B为n阶矩阵，人(B)i为矩阵B的特征值，称P(B) = max|七(B)|为 1in矩阵B的谱半径。定理3.3：设简单迭代公式为x(k+1
13、) = Bx(k) + g (k = 0,1,2，)对于任意的初始向量x(0)和g，该简单迭代法都收敛的充要条件是：P (B) 1定理3.4 :设简单迭代公式为X(k+1) = B刘 k) + g(k = 0,1,2,)如果 |B|1=max 1|bj 1 或IBII8=maxb 1，则简单迭代法对任意初始向量x(0)和g都收敛。1i a | (i = 1,2,n)即A的每一行(列)对角线上的元素的绝对值都严格大于同行 i=1 j丰i(列)其它元素绝对值之和，则称A为严格对角占优矩阵。a x + a x HF a x = b11 112 21n n 1a x + a x + a x = b定理3.5：如果线性方程组21 122 2 .2n n 2的系数矩阵A是严格对角占优矩a x + a x + a x = bn1 1 n 2 2nn n n阵 则雅克比迭代法对任意的初始向量x (0)和g都收敛。定理3.6：设有赛德尔迭代公式x(k+1)= B x(k+1)+ B x(k)+ g记矩阵B = B + B = (b )。如1212 ij nxn果 |
