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1、有关机械能守恒定律的一些看法古春红摘要：机械能守恒定律是自然界中普遍存在的规律，也是中学物理知识考查中的重点。 在对能量守恒定律的理解和应用中，存在一些容易混淆的问题。本文就这些疑问，从机械能 守恒定律的成立条件、适用范围加以分析，希望能澄清这些问题。关键字：机械能守恒保守系 保守力 非保守力 能量的相对性一. 问题的提出能量守恒定律是自然界中普遍存在的规律，从宏观低速物体到微观高速的微粒，都符合 能量守恒定律。能量的形式多种多样，有动能、势能、核能、热能等等，因此能量守恒定律 可以具体到某种形式的能量的守恒律，比如在机械运动中的机械能守恒定律。机械能与我们 的生活最接近，最容易感受到，同时它
2、也是中学物理教学中的一个重点，是中学物理知识考 查的重头戏。由于中学生对机械能守恒律理解得不深入，常常不顾机械能守恒定律的成立条 件而妄加应用，又或把机械能守恒的条件和动量守恒的条件混为一谈。学生中还会提出这样 的问题：既然一个物体的速度大小与选择的参考系有关，那么物体的动能大小也跟参考系的 选择有关、机械能守恒定律成立的条件也跟参考系有关吗？一个物体在外力作用下在粗糙的 水平面上匀速运动，那么它的机械能守恒吗？对此，我们有必要对机械能守恒定律的成立条 件、适用范围以及一些有争议的问题做一做辨析。二. 有关机械能守恒定律赵凯华、罗蔚茵主编的新概念物理教程一一力学中提到机械能守恒定律的内容为：
3、一个保守系总机械能的增加等于(未计入外场部分的)外力对它所作的功；如果从某个参考 系看来，这部分外力做功为零，则该系统的机械能不变。这里需要理解的关键字有：保守系、外力做功、从某个参考系看来。搞清楚了这几个关 键字，那么前面提出的问题自然就解决了。下面下先从理论上推导关于保守系的机械能守恒的条件。对于单个质点，其动能的增量和力对它做功的关系式可以表示为：dEk=d (mv2/2)=fdr=dA，式中dA代表力f对它做的元功，dEk代表其动能的增加。把此式运用到一个物体系， 该物体系由若干个相互作用着的物体(质点)组成，并用脚标i标记第i个质点，对i求和：dE =ZdE = d(1 Zmv2)
4、= Zfdr 工dA = dAkki 2 i ii ii式中，Ek =Z垃=2Zmivi2为系统的总动能，dA是对系统内所有质点所做的元 ii功。下面讨论dA。系统内的质点i所受的力f可以分解为内力和外力：fi=fi 外+ fi 内而f内=Z f.ji从而元功可以分解为内力的功和外力的功：dA=dA 外+dA 内对于内力的功，把它写成对系统内质点i、j对称的形式，再利用牛顿第三定律： d(r -r ) = Lf dri j 2 ij ijdA = dr = 1 (f dr+f dr) = 1 f内iji 2 iji ji j 2 ui *(li j)1 勺j图1，抵抗它作功)为零的力，叫式中r
5、ij=rir.为质点i相对质点j的位矢(见图1)我们进一步把内力f分解为保守部分fc和非保守部分fD. 保守力和非保守力的概念。沿任意闭合回路作功(或者说做保守力，其所做的功仅跟质点的始末位置有关，且与某种势能的增减相对应；否则，就是 非保守力，非保守力做功没有与势能相对应。重力和弹力都是保守力，摩擦力为非保守力。保守内力的功等于相互作用势能U (七)的减少：dAc =1 化 dr =-1 dU(r ) = -dE内 2 i ijij2 i ijp 内式中Ep内=2 U(rij)为系统内质点间的相互作用势能总和，即系统的总内势能。ii j对于外力做功：在很多场合下，人们一般不再把外力做功dA
6、/作进一步的分解。不过 外在有保守外场的情况下，还是经常把它分解成dA外和dA外两部分。所谓“外场”是指产 生这种力场的外部物体非常庞大，内部质点的反作用力对它运动状态的影响可以忽略(比如 对于地面上的物体，地球的引力场可以看作矢外场)。如果外场是保守的，则它对系统的内 部质点i所做的功可以写成势能减少的形式：c-dqudU外(孔)，dAc = fc dr = -dU外(r ) = -dE 夕卜式中Ep外= U外(ri)为系统内各质点的外势能总和，即总外势能。i至于dA外就是dA外中除了 dA外外的其余部分，它不可用势能的减少来表达，或者由 于某种考虑本可以用而不用势能的减少来表达。综上所述，
7、dA = dAc + dA外 + dAD + dAD = -dE 内一dE 外 + dAD + dA/外=-dE + dAD + dAD式中Ep=Ep内+Ep外为系统的总势能，又因为dEk=dA，上式可以变为：d (Ek+Ep)= dAD + dAD对于保守系(即使所有非保守内力都不做功的系统)有：dAD = 0于是对于保守系有：d (Ek+Ep)= dAD如果在某个参考系内有dAD = 0，则外d (Ek+E ) =0，或 Ek+Ep= 量 E这便是机械能守恒定律。我们也得到了机械能守恒的条件:对于保守系的每一个元过程， 外力做的总功为零，保守内力做功为零，则每一个瞬间，机械能为一个恒量。对
8、此，还需要 作以下的补充说明：1. 对于保守系，即是所有非保守内力都不做功的系统。注意这里的“所有的非保守内 力都不做功”不包括非保守内力做的总功为零的情况。比如，一个球在静摩擦力的作用下从 斜面上滚下来，摩擦力不做功，则球和斜面是保守系；若一部机器在发动机的推动下克服阻 力匀速转动，虽然非保守力做功的总和为零，但是该系统不能看作是保守系。因为该系统的 非保守力一个做了正功，一个做了负功。2. 非保守力包括摩擦力、阻力等，其做功会使得机械能转化为热能；还包括爆炸力等， 其做功会使得其他形式的能量向机械能转化。换句话说，机械能守恒就是能量在动能和势能 间转化，而没有与其他形式的能量转化。3. 机
9、械能守恒的条件要求保守系的外力做功为零，不是要求每一个外力做功为零，而 只要每个外力做功的代数和为零即可。4. 机械能守恒的条件要求外力做功和非保守内力做功分别为零，而不是两者的代数和 为零。否则，这时候该系统已经不是保守系了，因为非保守内力做功不为零，讨论机械能是 否守恒已经没有意义了。5. 机械能是否守恒跟参考系的选择有关。内力做功只是与系统内质点间的相对位移有 关，从而与参考系的选择无关。然而对于外力，选择不同的参考系做伽利略变换时，dr. = dr. vdt，f=f，于是 11i idA.外=乙f 外dr=乙f 外（dr vdt） = dA外f外 vdtii上式表明，dA夕是否为零与参
10、考系的选择有关。图26. 机械能是否守恒，跟选择的保守系中的物体的范围有关。如图2所示，一条不可伸 长的的轻绳将m1和m2绕过定滑轮系于两边，不计绳子和滑轮间的摩擦力，mm2。如果但 对于m1和地球这个系统，机械能不守恒，因为有绳子对m1的力做了负 功。但若选择m1. m2和地球这个系统，因为绳子对m1. m2的力所做 的功等大，符号相反，即外力做的总功为零，则机械能守恒。三. 机械能守恒定律在中学教学中的解读在中学阶段，机械能守恒定律是非常重要的一个知识点，学生对一 些稍微复杂些的系统要判断其机械能是否守恒便出现困难。1 .中学教材对机械能守恒定律的表述在中学教材中，编者总是把原理、规律用最
11、简洁最通俗的语言表述出来。高中教材1对 机械能守恒定律的表述为：在只有重力做功的情形下，物体动能和重力势能发生相互转化， 但机械能的总量保持不变。教材后面还补充了动能和弹性势能转化的情况。这种表述，暗含 了将物体和地球作为一个系统，而且选择的参考系就是地球。“动能和势能发生相互转化”， 即是说，没有机械能和其他形式的能量的转化。2.易错问题的释疑本文开头提到的几个问题，现在可以很容易地作出解析了。（1） 一个物体在推力作用下在粗糙的水平面上匀速运动，那么它的机械能守恒吗?这个问 题可以从两个角度分析：首先，对于该物体和地球构成的系统本身就不是保守系，因为有非 保守内力（摩擦力）做了功，故机械能
12、不守恒；或者认为，这个系统有机械能的的输出和输 入：由于摩擦力做了负功，有一部分机械能转化为内能；同时又由于其他的非保守力（此处 是推力）做功使得系统的机械能增加，虽然机械能的输入和输出平衡，但不能认为机械能守 恒，只能叫做机械能的总量不变。实际上，对于一个系统，讨论非保守内力做功是否为零时，只需要讨论耗散力（滑动摩擦 力、空气阻力等）以及发动机等产生的非耗散力、爆炸等产生的爆炸力。对于其它的内力如 静摩擦力、一切略去宏观形变的弹力等不必考虑，因为这些内力分别做的功的代数和为零， 并且不会导致机械能和其它形式的能量转化，只会使得机械能在系统内部转移。比如图2 中提到的例子，若是把m1、m2、地
13、球以及轻绳作为一个系统，系统内非保守力（绳子分别 对m1、m2的拉力）各自做功不为零，但是我们不必讨论它，因为它不是耗散力，且它们所 做的总功为零，系统没有机械能的输出或输入，系统的机械能是守恒的。只是m1的机械能 减少，m2的机械能增加，总的机械能守恒。（2）关于能量的相对性。一个物体的速度与选择的参考系有关，与之对应的动能也便与 选择的参考系有关。这也容易理解，我们把物体能够对外做功，叫做这个物体具有能量；物 体由于运动具有的能量叫做动能；物体由于被举高而具有的能量叫做势能。如果你在一飞行 的飞机上，刚好窗外有一与你的飞机同速度的子弹，你丝毫不会觉得该子弹对你有威胁，因 为在你看来，它的动
14、能为零，不具备做功的能力；但是，如果你是静止在地面上的，子弹以 同样的速度射来，这时你的生命肯定受到威胁，因为此时你看来，子弹的动能是很大的。那 么这样说来，我们总可以找到一个参考系，使得物体的机械能为零；或者找到一个参考系， 使得物体的机械能很大，这样能量不就增加了？其实，我们关心的，并不是该物体具有的能 量的具体数值是多大，而是该物体的能量改变了多少，或者说能够提供给我们使用的能量是 多少。对于各种形式的能量，我们更关心的是它的改变量，包括内能、核能等。但是，不同 的参考系，能量的改变量应该是一样的。关于机械能守恒定律的相对性。前面已经提到，机械能是否守恒，跟选择的参考系有关。 这在中学阶段是不做要求的。1物理第一册人民教育出版社2002年版第148页参考文献：新概念物理教程一一力学赵凯华、罗蔚茵编1996年版物理学概念教学研究李忠、齐淑静编 网上资料
