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1、 题型6：最值问题导数、不等式、二次函数 弦长、面积弦长公式1.（06，北京，理）已知点，动点满足条件.记动点的轨迹为.（）求的方程；（）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.（答案：（1）（2）当最小值2 ）2.（10，海淀一模，文）已知椭圆的对称中心为原点O，焦点在轴上，离心率为， 且点（1，）在该椭圆上. （I）求椭圆的方程； （II）过椭圆的左焦点的直线与椭圆相交于两点，若的面积为，求圆心在原点O且与直线相切的圆的方程. （答案：(I)椭圆： (II)圆：）3.（08，北京，文）已知的顶点在椭圆上，在直线上，且（）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；（）当，且斜边的长最大时，求所在
2、直线的方程 （答案：(I)， (II) 平行线间的距离为三角形的高 所在直线的方程为4.（08，北京，理）已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1（）当直线过点时，求直线的方程；（）当时，求菱形面积的最大值 ( 答案：（1）（2）, 所以当时，菱形的面积取得最大值 ) 5.（10，东城二模，文）已知椭圆的短轴长为，且与抛物线有共同的焦点，椭圆的左顶点为A，右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线分别交于两点 （I）求椭圆的方程； （）求线段的长度的最小值；（提示：利用平行线段成比例即可） （）在线段长度取得最小值时，椭圆上是否存在一点，使得的面积为，若存在求出点的坐标，若不存
3、在，说明理由（答案：（）椭圆的方程为（）当时，线段的长度取最小值（）设直线则由，即由平行线间距离公式，得 ，得或（舍去） 可求得或6.(10，宣武期末，理)已知直线：与圆C：相交于两点（）求弦的中点的轨迹方程；（提示：点差法）（）若为坐标原点，表示的面积， ，求的最大值.（答案：（I）：，（II）时，的最大值为 ）提示：=，由，得,时，最大值为7.（10，东城期末，文）已知椭圆的中心在原点，一个焦点，且长轴长与短轴长的比是（）求椭圆的方程；（）设点在椭圆的长轴上，点是椭圆上任意一点. 当最小时，点恰好落在椭圆的右顶点，求实数的取值范围 （答案：（）椭圆的方程为， （），当最小时，点恰好落在椭圆
4、的右顶点,故对称轴，即， 提示：联立圆的方程与椭圆的方程，使其判别式为0，即为相切） 8.（10，北京，文）已知椭圆C的左.右焦点坐标分别是，离心率是，直线椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P,圆心为P，（）求椭圆C的方程；（）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；（提示：点M（t,t）（）设Q（x，y）是圆P上的动点，当变化时，求y的最大值答案：（）（）P（0，）（）圆P的方程，设，则当，即，且，取最大值2. 题型7：数列、向量综合1.（10，辽宁，理）设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线的倾斜角为60o,.(I)求椭圆C的离心率； (II)如果|AB|=
5、，求椭圆C的方程. （答案：（I）（II）椭圆C的方程为. ）2.(07，全国II，理)直角坐标中，以为圆心的圆与直线相切（1）求圆的方程；（2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求的取值范围 ( 答案：（1）圆的方程为,(2)的取值范围为提示：设，由成等比数列，得，即 由于点在圆内，故由此得所以的取值范围为)3.（08，全国I，理）双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点已知成等差数列，且与同向（）求双曲线的离心率 ()（）设被双曲线所截得的线段长为4，求双曲线方程() 题型8：交点、等分点问题韦达定理1. （10，蒋叶光，编写）已知点和，
6、直线与线段存在公共点，求的取值范围（提示：点在直线上，代数化：，解得）2.（10，海淀期末，文）已知为椭圆的左焦点，直线与椭圆交于两点，那么的值为 3.中点（10，宣武期末，文）椭圆E：的焦点坐标为（），点M（，）在椭圆E上（）求椭圆E的方程；（）设Q（1，0），过Q点引直线与椭圆E交于两点，求线段中点的轨迹方程；（）O为坐标原点，的任意一条切线与椭圆E有两个交点，且，求的半径（提醒：纷繁计算量） （答案：（）（） （） 4.中点（06，北京，文）椭圆的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且,（）求椭圆C的方程；（）若直线l过圆的圆心M，交椭圆C于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线的方
7、程. (答案：（）（） )5.中点（10，西城一模，理）椭圆短轴的左右两端点为，直线与轴.轴交于两点交椭圆于两点 （I）若，求直线的方程； （II）设直线的斜率分别为，若，求的值，（提示：分类讨论）（答案：（I）直线l的方程为(II)提示：平方得6.三等分点（10，北京一模,文）已知，两点，曲线上的动点满足.（）求曲线的方程；（）若直线经过点，交曲线于，两点，且，求直线的方程. （答案：（） （） 题型9：动点问题1.（10，海淀期末，文）已知椭圆C：的焦点为，若点在椭圆上，且满足（其中为坐标原点），则称点为“点”.那么下列结论正确的是 ( ) A椭圆上的所有点都是“点” B椭圆上仅有有限个点
8、是“点” C椭圆上的所有点都不是“点” D椭圆上有无穷多个点（但不是所有的点）是“点”2.（10，海淀，上期末）点在曲线：上，若存在过的直线交曲线于点，交直线：于点，满足或，则称点为“H点”，那么下列结论正确的是 （ ) A曲线.上的所有点都是“H点” B曲线上仅有有限个点是“H点” C曲线上的所有点都不是“H点” D曲线上有无穷多个点（但不是所有的点）是“H点”3.（10，西城一模理，理）如图，在等腰梯形中，且，设，以为焦点且过点的双曲线的离心率为，以为焦点且过点的椭圆的离心率为，则（ ）A随着角度的增大，增大，为定值B随着角度的增大，减小，为定值C随着角度的增大，增大，也增大D随着角度的增
9、大，减小，也减小 提示：双曲线减小，椭圆增大ABCD4.（2011，海淀期中，理）在平面直角坐标系中，是坐标原点，设函数的图象为直线，且与轴、轴分别交于、两点，给出下列四个命题：其中所有真命题的序号是（ ） 存在正实数，使的面积为的直线仅有一条； 存在正实数，使的面积为的直线仅有两条； 存在正实数，使的面积为的直线仅有三条； 存在正实数，使的面积为的直线仅有四条.A B C D 参考答案 1.B 2.D 3.B 4.D 知识归纳：双曲线 1.定 义：平面内动点P与两定点F1，F2距离差等于定长2 当为双曲线， 当为以为端点的两条射线 当不含绝对值，轨迹为一条射线或双曲线的一支 2.标准方程：
10、谁正谁为（1） 定义域： 值域：（2） 焦点：， （）（3）实轴长: 半实轴长：（4）虚轴长： 半虚轴长：（5）焦距： 半焦距：（6）离心率：（7）渐近线：退化双曲线，令，即 （8）准线：（9）焦渐距：焦点到渐进线的距离为（10）焦准距：双曲线的焦点与其相应准线的距离（11）通 径：（过的焦点且垂直于对称轴的弦） （12）焦半径：， （13）等轴双曲线：， 且两渐近线相互垂直 （14）共轭双曲线：实轴和虚轴交换 （15）共渐近线双曲线： 特点:1.渐近线相同；2.焦距相等；3.两离心率平方倒数和为1 3. 焦点三角形（1）（2）（3）（4）（5） （6）双曲线的方程与渐近线方程的关系 若双曲线
11、：渐近线： 若渐近线：双曲线可设： 若双曲线与有公共渐近线可设为 （7）点差法：（椭圆/双曲线/圆）上A,B两点,弦AB的中点为，弦AB的斜率，则典型例题 例 1.（10，蒋叶光，编写）已知以为左右焦点的双曲线右支上点，其中的内切圆与轴切于点，则的值为 例 2.（10，蒋叶光，编写）已知双曲线右支上点到的距离为，求的值 解法一：.又因为点在曲线上， 所以，即，这是错的！ 解法二：双曲线右支上点，故， 又因为，即例3.（10，蒋叶光，编写）若点在双曲线上，若, 则 解法一：，1或17，这是错的！ 解法二：只能在右支，故17例4.若点双曲线在上，若,则 例5.若点在椭圆上，则 参考答案 1.8 2
12、. 3.17 4.3或19 5.3题型1.离心率.焦点弦.焦点三角形精题训练（北京卷）1.（10，海淀二模，文）双曲线的焦距为( ) A.10 B. C. D. 52.(03,北京,理)以双曲线右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是 3.(10，北京，理)双曲线离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，则双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 4.（10，海淀期末，文）双曲线的渐近线方程是（ ）A B. C. D. 5.（10，海淀期末，理）双曲线，则焦点到渐近线的距离为（ ）A1 B C3 D4 6.（10，宣武期末，文） 若双曲线的离心率为，则 ；设为虚数单位，复数的运算结果为 .7.（10，东城
13、二模，文）已知双曲线的左右焦点分别为，点在双曲线上，且轴，若，则双曲线的离心率等于（ ） A. B. C. D. 8.(10，西城一模，理)已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上一点，则最小值为 9.（10，东城期末，理） 直线过双曲线的右焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若原点在以为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是 10.（10，东城期末，文）若双曲线的两个焦点为，为双曲线上一点，且，则该双曲线离心率的取值范围是 11.（10，东城二模.理）抛物线与双曲线有相同的焦点，点 是两曲线的一个交点，且轴，若为双曲线一渐近线，则倾斜角所在的区间可能是（ ） A. B. C. D. 参考答
