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1、正方形(4)【学习目标】1掌握正方形的定义、性质和判定方法2能正确区别平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系3能运用正方形的性质和判定方法进行有关的计算和证明【主体知识归纳】1正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形2正方形的性质：正方形除具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质外，还具有：（1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；（2）正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角3正方形的判定（1）根据正方形的定义；（2）有一组邻边相等的矩形是正方形；（3）有一个角是直角的菱形是正方形；（4）既是矩形又是菱形的四边形是正方形【基础知识精讲】1掌握正方形
2、定义是学好本节的关键，正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形2正方形的性质可归纳如下：边：对边平行，四边相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角此外：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴，学习时，应熟悉这些最基本的内容【例题精讲】例1如图450，已知矩形ABCD中，F为CD的中点，在BC上有一点E，使AEDCCE，AF平分EAD求证：矩形ABC
3、D是正方形图450剖析：欲证矩形ABCD是正方形，只要证明有一组邻边相等即可，由已知AEDCCE，容易想到若能证明AEADCE便可证得ADDC，由于AF平分EAD，因此可在AE上截取AGAD，再证GECE，就可得出要证的结论证明：在AE上截取AGAD，连结FG、FE四边形ABCD是矩形，DC90ADAG，DAFGAF，AFAFADFAGF，DFGF，DAGF90DFCF，GFCFFGEC90，FEFE，RtGFERtCFEGECE，ADCEAE又DCCEAE，ADDC矩形ABCD是正方形说明：要判定一个四边形是正方形，可先判定这个四边形是矩形，再证明有一组邻边相等；或先判定它是菱形，再证明有一
4、个角是直角例2如图451，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过点A作AGEB，垂足为G，AG交BD于点F，则OEOF图451对上述命题的证明如下：四边形ABCD是正方形，BOEAOF90，BOAO3290，AGBE，139012，BOEAOF，OEOF问题：对于上述命题，若点E在AC延长线上，AGEB，交EB的延长线于G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其他条件不变（如图452），结论“OEOF”还成立吗?如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由图452剖析：可仿上述的证明，证BOEAOF解：结论OEOF仍然成立，证明如下：四边形ABCD是正方形，BOEAO
5、F90，BOAO，OFAFAE90又AGEB，OEBEAF90，OEBOFA，BOEAOF，OEOF例3有一正方形池塘，池塘四个角上有四棵树，现计划把此池塘改为面积扩大一倍的正方形，能否不毁掉树木而达到要求？请你设计出方案来图453剖析：新改造的池塘的面积是原面积的2倍，因此，新边长应为原边长的倍，而正方形的对角线是边长的倍，故以原对角线的长为边长构造新的正方形答案：如图453，分别过B、D作AC的平行线，分别过A、C作BD的平行线，四条线分别交于A、B、C、D，则四边形ABCD为要求的正方形【同步达纲练习】1选择题（1）下列命题中，假命题的个数是（）四边都相等的四边形是正方形 对角线互相垂直
6、的平行四边形是正方形 四角都相等的四边形是正方形 对角线相等的菱形是正方形A1 B2 C3 D4（2）正方形具有而菱形不具有的性质是（）A对角线互相垂直平分 B对角线相等C邻边相等 D每条对角线平分一组对角（3）正方形的对角线与边长之比为（）A11 B1 C1 D21（4）以等边ABC的边BC为边向外作正方形BCDE，则ABD105，ACD150，DAE30，ABEACD，其中正确的结论有（）A1个 B2个 C3个 D4个（5）在正方形ABCD中，P、Q、R、S分别在边AB、BC、CD、DA上，且APBQCRDS1，AB5，那么四边形PQRS的面积等于（）A17 B16 C15 D9（6）如图
7、454，正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点作OEOF分别交AB、BC于E、F，若AE4，CF3，则EF等于（）图454A7 B5 C4 D3（7）在正方形ABCD中，E、F两点分别是BC、CD边上的点，若AEF是边长为的等边三角形，则正方形ABCD的边长为（）A B C D2（8）如图455，在正方形ABCD中，CEMN，MCE35，那么ANM等于（）图455A45B55C65D752填空题（1）已知正方形的面积是16 cm2，则它的一边长是_，一条对角线长是_（2）已知正方形的对角线长为2，则此正方形的周长为_，面积为_（3）在正方形ABCD中，两条对角线相交于O，BAC的
8、平分线交BD于E，若正方形ABCD的周长是16 cm，则DE_cm（4）在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CEAC，连结AE交CD于F，那么AFC等于_度3如图456，已知正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CECF图456（1）求证：BCEDCF；（2）若BEC60，求EFD的度数4已知：如图457，在正方形ABCD中，E是CB延长线上一点，EBBC，如果F是AB的中点，请你在正方形ABCD上找一点，与F点连结成线段，并证明它和AE相等图4575以ABC的AB、AC为边，向三角形外作正方形ABDE及ACGF，作ANBC于点N，延长NA交EF于M点（1）求证
9、：EMFM；（2）若使AMEF，则ABC必须满足什么条件呢？图4586如图458，已知正方形ABCD中，M、F分别在边AB、AD上，且MBFD，E是AB延长线上一点，MNDM，MN与CBE的平分线相交于N求证：DMMN7如图459，已知C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边作正方形ACDE和BCFG 图459求证：AFDB；若点C在线段AB的延长线上，猜想上述结论是否正确，如果正确，请加以证明，如果不正确，请说明理由【思路拓展题】你会设计吗今有一片正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路把这片地分成形状相同且面积相等的4部分，若道路的宽度忽略不计，请设计三种不同的修筑方案（在给出如图
10、460的三张正方形纸片上分别画图，并简述画图步骤）图460参考答案【同步达纲练习】1（1）C （2）B （3）B （4）D （5）A （6）B （7）A（8）B2（1）4 4 （2）8 4 （3）4 （4）112.53（1）略 （2）154连结CF，可证ABECBF或连结DF，让ABEDAF。5提示：（1）过点E作EGAF交AM的延长线于G，连结FG，证ABCEAG，得EGAC，从而EG AF，可得AEGF为平行四边形，结论得证；（2）BAC906提示：证DFMMBN7提示：证ACFDCB。若点C在线段AB外，上述结论仍然成立，证法仿照着前一种情况。【思路拓展题】你会设计吗？提示：实质是对角以正方形中点为中心旋转
