《新版【浙江】高考数学文二轮：专题4第2讲数列求和及综合应用专题训练及答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新版【浙江】高考数学文二轮：专题4第2讲数列求和及综合应用专题训练及答案（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1 1第二讲数列求和及综合应用1等差、等比数列的求和公式(1)等差数列前n项和公式：Snna1d.(2)等比数列前n项和公式：q1时，Snna1；q1时，Sn.2数列求和的方法技巧(1)转化法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并(2)错位相减法这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中an，bn分别是等差数列和等比数列(3)倒序相加法这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩
2、余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和(4)裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或n项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和3数列的应用题(1)应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决(2)数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效益的增减，解决该类题的关键是建立一个数列模型an，利用该数列的通项公式、递推公式或前n项和公式1 (20xx课标全国)设等差数列a
3、n的前n项和为Sn，Sm12，Sm0，Sm13，则m等于()A3 B4 C5 D6答案C解析am2，am13，故d1，因为Sm0，故ma1d0，故a1，因为amam15，故amam12a1(2m1)d(m1)2m15，即m5.2 (20xx福建)数列an的通项公式anncos ，其前n项和为Sn，则S2 012等于()A1 006 B2 012 C503 D0答案A解析用归纳法求解anncos ，a10，a22，a30，a44，a50，a66，a70，a88，.由此易知a4n2(4n2)，a4n4n，且a1a2a3a4242，a5a6a7a8682，a4n3a4n2a4n1a4n(4n2)4n
4、2.又2 0124503，a1a2a2 01222225031 006.503个3 (20xx大纲全国)已知等差数列an的前n项和为Sn，a55，S515，则数列的前100项和为()A. B. C. D.答案A解析设等差数列an的首项为a1，公差为d.a55，S515，ana1(n1)dn.，数列的前100项和为11.4 (20xx课标全国)数列an满足an1(1)nan2n1，则an的前60项和为_答案1 830解析an1(1)nan2n1，a21a1，a32a1，a47a1，a5a1，a69a1，a72a1，a815a1，a9a1，a1017a1，a112a1，a1223a1，a57a1，
5、a58113a1，a592a1，a60119a1，a1a2a60(a1a2a3a4)(a5a6a7a8)(a57a58a59a60)1026422341 830.5 (20xx湖南)设Sn为数列an的前n项和，Sn(1)nan，nN*，则：(1)a3_；(2)S1S2S100_.答案(1)(2)解析anSnSn1(1)nan(1)n1an1，an(1)nan(1)n1an1.当n为偶数时，an1，当n为奇数时，2anan1，当n4时，a3.根据以上an的关系式及递推式可求a1，a3，a5，a7，a2，a4，a6，a8.a2a1，a4a3，a6a5，S1S2S100(a2a1)(a4a3)(a1
6、00a99).题型一分组转化法求和例1等比数列an中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足：bnan(1)nln an，求数列bn的前n项和Sn.审题破题(1)可以通过逐个验证来确定数列的前三项，进而求得an；(2)可以分组求和：将bn前n项和转化为数列an和数列(1)nln an前n项的和解(1)当a13时，不合题意；当a12时，当且仅当a26，a318时，符合题意；当a110时，不合题意因此a12，a26，a318.
7、所以公比q3.故an23n1 (nN*)(2)因为bnan(1)nln an23n1(1)nln(23n1)23n1(1)nln 2(n1)ln 323n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，所以Sn2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3.所以当n为偶数时，Sn2ln 33nln 31；当n为奇数时，Sn2(ln 2ln 3)ln 33nln 3ln 21.综上所述，Sn反思归纳某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化特别注意在含有字母的数
8、列中对字母的讨论变式训练1在等差数列an中，a3a4a542，a830.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足bn()an2(R)，则是否存在这样的实数使得bn为等比数列；(3)数列cn满足cn，Tn为数列cn的前n项和，求T2n.解(1)因为an是一个等差数列，所以a3a4a53a442，a414.设数列an的公差为d，则4da8a416，故d4.故ana4(n4)d4n2.(2)bn()an29n.假设存在这样的使得bn为等比数列，则bbnbn2，即(9n1)2(9n)(9n2)，整理可得0，即存在0使得bn为等比数列(3)cn，T2n1(223)22(243)2422n2(22
9、n3)1222422n24(12n)3n43n2n2n.题型二错位相减法求和例2已知公差不为0的等差数列an的首项a12，且，成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足b12b222b32n1bnan，求数列nbn的前n项和Tn.审题破题(1)列方程求an的通项公式；(2)先求bn(两式相减)，再用错位相减法求Tn.解(1)设等差数列an的公差为d，由2，得(a1d)2a1(a13d)因为d0，所以da12，所以an2n.(2)b12b24b32n1bnanb12b24b32n1bn2nbn1an1得：2nbn12.bn121n.当n1时，b1a12，bn22n.Tn，Tn，上
10、两式相减得Tn222，Tn8.反思归纳错位相减法适用于求数列anbn的前n项和，其中an为等差数列，bn为等比数列；所谓“错位”，就是要找“同类项”相减要注意的是相减后得到部分等比数列的和，此时一定要查清其项数变式训练2(20xx山东)设等差数列an的前n项和为Sn，且S44S2，a2n2an1.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn的前n项和为Tn，且Tn(为常数)令cnb2n，nN*，求数列cn的前n项和Rn.解(1)设公差为d，令n1，则a22a11，a1d1，又S44S2，即2a1d，由得：a11，d2，所以an2n1(nN*)(2)由题意知，Tn，当n2时，bnTnTb2n(nN*)Rnc1c2cn1cn0，Rn，得：Rn，Rn.题型三裂项相消法求和例3在公差不为0的等差数列an中，a1，a4，a8成等比数列(1)已知数列an的前10项和为45，求数列an的通项公式；(2)若bn，且数列bn的前n项和为Tn，若Tn，求数列an的公差审题破题(1)列方程组(两个条件)确定an；(2)不可以采用裂项相消法求得，应该和已知Tn对比求得公差解设数列an的公差为d，由a1，a4，a8成等比数列可得aa1a8，即(a13d)2a1(a17d)，a6a1d9d2a7a1d，而d0，a19d.(1)由数列an的前10项和为45可得
