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1、数列中错位相减求和问题专练1. 已知数列a 的前n项和为S，且S = 2a -1 , n g N*.数列b 是公差大于0的等差数列，b = a ,nnn nn23且b , b , a成等比数例.1 2 4(1) 求数列a 和b 的通项公式；nn(2) 若T = a b + a b + a b H + a b + a b，求T .n 1 1 2 2 3 3n -1 n -1n nn解：(1)由 S = 2a 一 1，可得 n = 1 时，a = S = 2a 一 1，解得 a = 1 ；n n11112 时，a = S - S = 2a -1 - 2a +1，化为 a = 2a ，则 a = 2
2、一1 ；nnn-1nn-1nn-1n数列b 是公差d大于0的等差数列，由b = a，可得b = 4，n232由b， b ， a成等比数列，可得b2 = b a，即有16 = 8b，即b = 2，则d = 4 - 2 = 2，12421 411所以b = 2 + 2(n -1) = 2n ；n(2) T = a b + a b + a b H+ a b + a b = 1 - 2 + 2- 22 + 3- 23 +. + n- 2n，n 11 2233n-1n-1nn2T = 1 22 + 2 23 + 3 24 +. + n 2n 十1，n上面两式相减可得 T = 2 + 22 + 23 +
3、24 +. + 2n n 2nH1 ，n=n - 2n+1，化简可得 T = 2 + (n 1) - 2n+1.1- 2n2. 已知数列a 满足 a = 2， (n + 2)a = 3(n + 1)an1nn +1(1)求数列a 的通项公式;n(2)设S为数列a 的前n项和，求证：S 15 .a1 n + 2= X a3 n +1n31x 2 x 2 = (n +1) x (3)n-1 .nnn 4解：(1) 丁 数列a 满足 a = 2， (n + 2)a = 3(n + 1)a ，n1nn +1n +1 nXXXnn - 1+ (n + 1) X(3)n-1 ,a aan X n-1 X
4、X 2 X aaaa 1n -1 n - 21(2)证明：S = 2 + 3x 1 + 4xn3+n X ()n-1 2 S = 2 + 1 + (|)2 +(3)n-1 - (n + 1) x (|)n = 2 + 上匕-(n +1) x (n，可得：S = 35 x (i)n 3 x 5 = 15 .即 S d.n 2 2232 24 n 43 .已知数列a 的前n项和为S，S = 2a -1，数列b 是等差数列,nnnnn且 b = a ，11b =a 65(1)求数列a 和b 的通项公式;nnb(2)若c = b，记数列c 的前n项和为T，证明：T 0，所以 T 8.2n2n-1(3n
5、 2) -(2)n，2a ，1满足4.已知a 是等差数列，其前n项和为S , b 是正项等比数列，且a + b = 3 , b = 2a , a + b nn n111133S - 3b = 1.53(I) 求数列a 与b 的通项公式；nn(II) 若c = a + (1)w+i，记T = c b + c b +.+ cb , n g N*，求T (n g N*).n nn n 1 n -1 21 nn解：(I)设公差为d的是等差数列a ，公比为q的是正项等比数列b ，且a + b = 3，b =nn111a +b =13， S 3b =1.3353所以 | ai+ 2d + biq 2 =1
6、3&，解得 d = 2，q = 2 (负值舍去)，所以 a = 2n 1 ; b = 2 .15a + 10d 一 3b q2 = 1&nn11(11)由(I)得：T = 2c + 22c + 23c + + 2ncn nn 1n 21=2a + 22a + 23a + 2na + 2n 2n1 +.+ (1)n+1 2，nn 1n 21设 A = 2a + 22a +.+ 2n a ，n nn 112A = 22 a + 23 a +.+ 2n+1 a ，nnn 11得：A = 2(2n 1) + 2 x 22 + 2 x 23 +.+ 2 x 2n + 2n+1nA = 2(2n 1) +
7、 2 x 22 + 2 x 23 +.+ 2 x 2n + 2n+1 = 3x 2n+1 4n 6 .n22由于 2n 2n-1 +_+ (1)n+1 - 2 = (2 n (1)n )，所以 T = 3 X 2n+1 4n 6 + 2 n (1)n .3n35 已 知 数 列 a 的 前 n 项 和 为 S ， 且 满 足 S = 2a +1(ngN*) ， 数 列 b nnn nnnb (n + 1)b = 2n2 + 2n(n g N*)，且b = 1. n +1n1(1) 求证：数列成等差数列，并求a 和b 的通项公式；nnn(2) 设c = a ：n + b，求数列c 的前n项和T
8、.nnnnnbb证明：(1)数列b 满足nb (n + 1)b = 2n2 + 2n(n g N*)， b = 1 .整理得- f = 2 (常数)，nn +1n1n + 1 n所以数列是以b = 1为首项，2为公差的等差数列；所以b = 1 + 2(n-1) = 2n-1，n 1n整理得 b = 2n2 n .n由于数列a 的前n项和为S，且满足S = 2a + 1(n g N*),nnnn当n = 1时，解得a = -1,i当 n22 时，S = 2a +1 ，n-1n-1-得：a = 2a ，即巴l = 2 (常数)，nn-1an-1所以数列a 是以-1为首项，2为公比的等比数列；n所以
9、a =-2n-1 (首项符合通项)，故a =-2n-1.nn(2)由(1)得：c = a ；n + b = -、* 2n - 2n-1，nnn所以 T = 一叮2 x 1 x 2o 一x 2 x 21 -. - ;2n 2n-1 ，n2T = -x 2 x 1 x 21 - 2 x 2 x 22 -. - 2n 2n ，n一得：-T =-i2 -2 x (21 + 22 +. + 2n-1) +、：2nx 2n，n整理得：T 一込 (n 1) 2n -2 .n6.数列：；，是等差数列，S为其前n项和，且a = 3a， S = 14a + 7，数列b 前n项和为T，且满足 n5272nn3b =
10、 2T + 3， n g N * .nn（I）求数列a 和b 的通项公式；nn（11）设数列q的前n项和为R，求Rnn解：（I）由题意，设等差数列a 的公差为d，则n2a - d = 0i ，解得a d = 11a + 4d = 3(a + d)17 x 6 1，整理，得7a + d = 14(a + d) + 71 2 1/. a = 1 + 2(n 一 1) = 2n 一 1， n g N * n对于数列b :当 n = 1 时，3b = 2T + 3 = 2b + 3，解得 b = 3，n1111当n22时，由3b = 2T + 3，可得nn3b= 2T+ 3，n-1n-1两式相减，可得
11、3b 3b=2T+ 3 2T 3 =2b，整理，得 b =3b,nn 1nn 1nnn 1数列b 是以3为首项，3为公比的等比数列，b = 33n-1 = 3n, n g N* nn(II)由题意，记c = a，即数列c 的前n项和为R，n bnnn由(I)知，CnR = c + c + ca2n 1二n =b3nn1 352n 1+ + C =+ n 1 2 3n 31 32 333 n1132n 3 2n 1R = + +3 n 32 333n3n +1两式相减，可得2 R =丄+z+2 + 2占=1+2(1+丄 + 丄)也3 n3132333n3n+139313n - 23n+111 , 2-3n12n 12 n + _ = 一 (1 )，3 9 113n+133n. R =1 nn +13n
