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1、【通过做对称求出最小值】1、在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则PBQ周长的最小值为 cm2、如图所示，正方形ABCD的面积为12，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PDPE的和最小，则这个最小值为_ 3、已知四边形ABCD为菱形，BAD60，E为AD中点，AB6，DCEBPA P为AC上任一点.求PE+PD的最小值是 .ACPEFBD【变式】在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边 AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是 .【
2、模拟练习】1、如图，在锐角ABC中，AB=4，BAC=45，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 ABCDNM第1题2、如图，在五边形ABCDE中，BAE120，BE90，ABBC1，AEDE2，在BC、DE上分别找一点M、N，使AMN的周长最小，则AMN的最小周长为_BADEMCN第2题3、如图6，AB是O的直径，AB=8，点M在O上，MAB=20,N是弧MB的中点,P是直径AB上的一动点，若MN=1，则PMN周长的最小值为_4、如图，点P是AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，PMN周长的最小值是5cm，则
3、AOB的度数是（ ） A25 B30 C35 D405、菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），DOB=60，点P是对角线OC上一个动点，E（0，1），当EP+BP最短时，点P的坐标为 6、如图，在边长为2的等边ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为_7、如图，AOB=30，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分AOB，且OP=6，当PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为 8、如图，AOB30，点M、N分别在边OA、OB上，且OM1，ON3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MPPQQN的最小值是_9、如图，矩形ABCD中，AB
4、=2，BC=3，以A为圆心，1为半径画圆，E是A上一动点，P是BC上的一动点，则PE+PD的最小值是 【通过三角形三边关系或圆求最值】1、 如图，MON=90，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为_2、如图，MON=90，边长为2的等边三角形ABC的顶点A、B分别在边OM，ON上当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点C到点O的最大距离为_3、如图，正方形ABCD中，AB=2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点
5、F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，M是线段BC上任意一点，则MD+MP的最小值为 ADCBEFPM 4、如图，在平行四边形ABCD中，BCD=30，BC=4，CD=，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将AMN沿MN所在直线翻折得到AMN，连接AC，则AC长度的最小值是_5、如图，在矩形中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将EBF沿EF所在直线折叠得到EBF，连接BD，则BD的最小值是_6、如图，在ABC中，ACB=90，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将B
6、CP沿CP所在的直线翻折，得到BCP，连接BA，则BA长度的最小值是 【通过点到直线距离，垂线段最短求最小值】1、 已知点D与点A（8，0），B（0，6），C（a，a）是一平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值为_2、如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB则PAB面积的最大值是（ ）A8 B12 C D3、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（4，0）、B（0，4），O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（ ）A.B.3C.D.CABEF4、如图
7、，在ABC中，AB = 10，AC = 8，BC = 6，经过点C且与AB相切的动圆与CB、CA分别相交于点E、F，则线段EF长度的最小值是 ( )A B4.75 C4.8 D5【将图形展开后求线段最短】1、如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_cm【高中基本不等式】1、张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子（x0）的最小值是2”其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是，矩形的周长是
8、2（）；当矩形成为正方形时，就有x=（x0），解得x=1，这时矩形的周长2（）=4最小，因此（x0）的最小值是2模仿张华的推导，你求得式子（x0）的最小值是_【其它】1、如图，已知直线l与O相离，OAl于点A，OA=5，OA与O相交于点P，AB与O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C，若在O上存在点Q，使QAC是以AC为底边的等腰三角形，则O的半径的最小值是（ ）A. B. 2 C. D. 2、如图，正方形ABCD的边长为1，中心为点O，有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ绕点O可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD内（包括正方形的边），当这个六边形的边长最大时，AE的
9、最小值为_ 3、如图，AB=10，C是线段AB上一点，分别以AC、CB为边在AB的同侧作等边ACP和等边CBQ，连结PQ，则PQ的最小值是（）A5B6C3D44、如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（xm）2+n的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为3，则点D的横坐标最大值为5、如图，ABC、EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M当EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（ ）ABCD6、在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A(13，0)，若直线ykx3k4与O交于B，
10、C两点，则弦BC的长的最小值为_7、在O中，圆的半径为6，B=30，AC是O的切线，则CD的最小值是（ ） A1B3CD28、如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），C的圆心坐标为（1，0），半径为1若D是C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则ABE面积的最小值是（） A2B1CD9、如图，AB是O的一条弦，点C是O上一动点，且ACB=30，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与O交于G、H两点若O的半径为7，则GE+FH的最大值为 第7题 第8题 第9题【构造三角形】1、如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居民点B，A、B的直线
11、距离是13千米.一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经 小时可到达居民点B.(友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶.)2、如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC6，ABC150，则线段APBPPD的最小值为 ABCDP（第2题）3、问题情境：如图1，P是O外的一点，直线PO分别交O于点A、B，则PA是点P到O上的点的最短距离探究：请您结合图2给予证明；归纳：圆外一点到圆上各点的最短距离是：这点到连接这点与圆心连线与圆交点之间的距离图中有圆，直接运用：如图3，在RtAB
12、C中，ACB=90，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是 图中无圆，构造运用：如图4，在边长为2的菱形ABCD中，A=60，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将AMN沿MN所在的直线翻折得到AMN，连接AC，请求出AC长度的最小值解：由折叠知AM=AM，又M是AD的中点，可得MA=MA=MD，故点A在以AD为直径的圆上如图8，以点M为圆心，MA为半径画M，过M作MHCD，垂足为H，（请继续完成下列解题过程）迁移拓展，深化运用：如图6，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 2、如图，在ABC中，AB13，BC14，AC15（1）探究：如图1，作AHBC于点H，则AH ，ABC的面积 （2）拓展：如图2，点D在边AC上（可与点A，C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E，F，设BDx，AECFy求y与x的函数关系式，并求y的最大值和最小值；对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，请求出这样的x的取值范围ABCH
