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1、2022年高中数学第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1学案新人教A版选修学习目标1理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理2会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题知识链接1用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？答因为英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出261036(种)不同的号码2用前6个大写英文字母和19九个阿拉伯数字，以A1，A2，B1，B2，的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？答编写一个号码要先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字，我们可以用树形图列出所有可能的号码如图：由于
2、前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有6954(个)不同的号码预习导引1分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法2分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有Nmn种不同的方法要点一分类加法计数原理的应用例1高二一班有学生50人，男30人；高二二班有学生60人，女30人；高二三班有学生55人，男35人(1)从中选一名学生任学生会主席，有多少种不同选法？(2)从一班、二班男生中
3、，或从三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？解(1)要完成“选一名学生任学生会主席”这件事有三类不同的选法：第一类：从高二一班选一名，有50种不同的方法；第二类：从高二二班选一名，有60种不同的方法；第三类，从高二三班选一名，有55种不同的方法；故任选一名学生任学生会主席的选法共有506055165种不同的方法(2)要完成“选一名学生任学生会体育部长”这件事有3类不同的选法：第一类，从高二一班男生中选有30种不同的方法；第二类，从高二二班男生中选有30种不同的方法；第三类，从高二三班女生中选有20种不同的方法故任选一名学生任学生会体育部长有30302080种不同的方法规律方
4、法应用分类加法计数原理应注意如下问题：(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些方法，怎样才算是完成这件事(2)无论哪类方案中的哪种方法都可以独立完成这件事，而不需要再用到其他的方法即各类方法之间是互斥的，并列的，独立的(3)不同方案的任意两种方法是不同的方法，也就是分类时必须做到既“不重复”也“不遗漏”跟踪演练1书架上层放有15本不同的数学书，中层放有16本不同的语文书，下层放有14本不同的化学书，某人从中取出一本书，有多少种不同的取法？解要完成“取一本书”这件事有三类不同的取法：第1类，从上层取一本数学书有15种不同的取法；第2类，从中层取一本语文书有16种不同取法
5、；第3类，从下层取一本化学书有14种不同方法故从中取一本书的方法种数为15161445.要点二分步乘法计数原理的应用例2已知集合M3，2，1，0，1，2，P(a，b)(a，bM)表示平面上的点，问：(1)点P可表示平面上多少个不同的点？(2)点P可表示平面上多少个第二象限内的点？解(1)确定平面上的点P(a，b)，可分两步完成：第一步确定a的值，有6种不同方法；第二步确定b的值，也有6种不同方法根据分步乘法计数原理，得到平面上点P的个数为6636.(2)确定平面上第二象限内的点P，可分两步完成：第一步确定a的值，由于a0，所以有3种不同方法；第二步确定b的值，由于b0，所以有2种不同方法由分步
6、乘法计数原理，得到平面上第二象限内的点P的个数为326.规律方法应用分步乘法计数原理应注意如下问题：(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题目中所给的某种方法是不是能完成这件事，也就是说要经过几步才能完成这件事(2)完成这件事要分若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步，这件事都不可能完成即各步之间是关联的，相互依存的，只有前步完成后步才能进行(3)根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，即分步要做到步骤完整跟踪演练2若乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安
7、排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，求不同的出场安排共有多少种？解按出场位置顺序逐一安排第一位置队员的安排有3种方法；第二位置队员的安排有7种方法；第三位置队员的安排有2种方法；第四位置队员的安排有6种方法；第五位置队员的安排只有1种方法由分步乘法计数原理知，不同的出场安排方法有37261252(种)要点三两个原理的综合应用例3现有高一年级的四个班的学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？(3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有
8、多少种不同的选法？解(1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法所以，共有不同的选法N7891034(种)(2)分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长所以，共有不同的选法N789105 040(种)(3)分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选1人，有78种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有79种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有710种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有89种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8
9、10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有910种不同的选法所以，共有不同的选法N787971089810910431(种)规律方法(1)在处理具体的应用题时，首先必须弄清是“分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么，选择合理的标准处理事件，关键是看能否独立完成这件事，避免计数的重复或遗漏(2)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰跟踪演练3在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现从这7人中选2人分别参加象棋比赛和围
10、棋比赛，共有多少种不同的选法？解分四类求解：(1)从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有326种选法；(2)从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有326种选法；(3)从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛有224种选法；(4)从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛，剩下的一名参加围棋比赛，有212种选法根据分类加法计数原理，一共有664218种不同的选法.1现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如
11、果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为()A7 B12 C64 D81答案B解析要完成配套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法故共有4312(种)不同的配法2从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法为()A1113 B3429C34224 D以上都不对答案B解析分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类，乘轮船，从2次中选1次有2种走法所以，共有3429种不同
12、的走法3从集合0，1，2，3，4，5，6中任取两个互不相等的数a，b组成复数abi，其中虚数有_个答案36解析第一步取b的数，有6种方法，第二步取a的数，也有6种方法，根据分步乘法计数原理，共有6636(种)方法4将3封信投入6个信箱内，不同的投法有_种答案216解析分三步，每一步投一封信每封信都有6种投法，共有666216(种)不同的投法1应用两个原理时，要仔细区分原理的不同，加法原理关键在于分类，不同类之间互相排斥，互相独立；乘法原理关键在于分步，各步之间互相依存，互相联系2通过对这两个原理的学习，要进一步体会分类讨论思想及等价转化思想在解题中的应用.一、基础达标1某班有男生26人，女生2
13、4人，从中选一位同学为数学课代表，则不同选法的种数有()A50 B26 C24 D616答案A解析根据分类加法计数原理，因数学科代表可为男生，也可为女生，因此选法共有262450(种)故选A.2已知x2，3，7，y3，4，8，则xy可表示不同的值的个数为()A8 B12 C10 D9答案D解析分两步：第一步，在集合2，3，7中任取一个值，有3种不同的取法；第二步，在集合3，4，8中任取一个值，有3种不同取法故xy可表示339(个)不同的值3某班小张等4位同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有()A27种 B36种 C54种 D8
14、1种答案C解析小张的报名方法有2种，其他3位同学各有3种，所以由分步乘法计数原理知共有233354(种)不同的报名方法，选C.4如图，一条电路从A处到B处接通时，可构成线路的条数为()A8 B6 C5 D3答案B解析从A处到B处的电路接通可分两步：第一步：前一个并联电路接通有2条线路；第二步：后一个并联电路接通有3条线路由分步乘法计数原理知电路从A处到B处接通时，可构成线路的条数为236，故选B.5张华去书店，发现3本好书，决定至少买其中1本，则购买方式共有_种答案7解析分3类：买1本书、买2本书、买3本书各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3317(种)64名学生参加跳高、跳远、游泳比赛，4人都来争夺这三项冠军，则冠军分配的种数有_答案64解析本题中要完成的一件事：“将比赛的各项冠军逐一分配给4名参赛学生”跳高冠军的分配有4种不同的方法跳远冠军的分配有4种不同的方法游泳冠军的分配有4种不同的方法根据分步乘法计数原理，冠军的分配方法有44464(种)7如图是某校的校园设施平面图，现
