因子特性法

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1、一、“因子特性法”的含义“因子特性法”即利用式子中是否包含某些特 定因子来进行答案的排除及选 择的一 种方法，其应用的核心在于“见到乘法想因子”。包含两种情况：-若等式一边包含某个因子，则等式另一边必然包括该因子。-若等式一边不包含某个因子，则等式另一边也必然不包括该因子。 同时，所选“因子”需同时具备如下性质：-易区分性：即因子在选项中 具有区分性。如利用某因子可 以排除掉更多选项，则 该因子就更具 有区分性。-易判断性：即易于判别是否 包含该因子。比如判断是否包含 3因子就比判断是否 包含7因子简单，因此一般情况下3因子比7因子具有更易判断性。二、典型例题【例1】（江苏2008A-20 ）

2、五个一位正整数之和为30，其中两个数为1和8，而这五 个数的乘积为2520，则其余三个数为（）A.6， 6， 9B.4， 6， 9 C.5， 7， 9 D.5， 8， 8【答案】C。五个数的乘积为2520，2520包含最明显的5因子，5因子在该题中既利 于判断，又具有明显区分性，排除A和B；同时，2520包含有3因子，因此排除D， 答案选C。【例2】（北京社招2005-13 ）某剧院有25排座位，后一排比前一排多2个座位，最 后一排有70个座位。这个剧院 共有多少个座位？（）A.1104B.1150 C.1170D.1280【答案】B。该题是明显的等差 数列求和。利用求和公式：总 数=项数X中

3、位数=25X 中位数；虽然中位数不知道，但出现乘积形式，见到乘积想因子，因此总数应该有25 因子，即可以被25整除，选项中只有B可以被25整除，因此选B【例3】（江苏2009-74 ）有一队士兵排成若干层的中空方针，外层共有68人，中间 一层共有44人，该方阵的总人数是（）A.296 B.308 C.324D.348【答案】B。方阵外层人数和相邻层人数差8,是公差为8的等差数列。利用求和公式： 总数=层数X中位数=层数X44；虽然层数未知，但出现乘积形式，见到乘积想 因子， 因此总数应该有4因子和11因子。但利用4因子不能进行有效的排除选项，缺乏区 分性。因此利用11因子进行判另聽选项中只有B

4、可以被11整除，因此选B例1-例3中，利用常规方法也可容易求出答案，很多 同学也倾向于直接解。但速 度明显不如利用“因子特性”快速便捷。同学 们处理这类问题时应刻意锻炼 “因 子特性”思维。【例4】小明骑车去外 婆家，原计划用5小时30分钟，由于途中有3又3/5千米道路 不平，走这段路时，速度相当于原计划速度的3/4,因此，晚到了 12分钟，请问小明家和 外婆家相距多少千米？A.33B.32 C.31 D.3411 llx速度【答案】A。该题属于行程问题，距离=速度X时间=速度X =，因此该题转化为求速度。速度在该题中很难求出，同时，发现该题又出现了乘法，见到乘法想因子，发现11因子具备高区分

5、性，选项中只有A包含11因子，因此选A【例5】甲、乙、丙三人合修一条公路，甲、乙合修6天修好公路的1/3，乙、丙合 修2天修好余下的1/4，剩余的三人又修了 5天才完成。共得收入1800元，如果按工 作量计酬，则 乙可获得收入为？（）【江苏2008A-21】A.330 元 B.910 元 C.560 元 D.980 元【答案】B。该题属于工程问题，工程 问题的核心在于设“ 1”，即设出工程总量。但 该题总量很难 设出，因此，该题属于工程问题 中的难题。我们看求什么，乙 总收入= 乙工作天数X每天的报酬=（6+2+5 ）乂每天的报 酬=13X每天的报酬；虽然每天 报酬 我们未知，但 又出现乘法，

6、“见到乘法想因子”，利用13因子进行判别。选项中只 有B可以被13整除，因此选B例4-例5中，利用常规方法很难求出答 案。对于这种难题就是暗示同学们有简单 方法，一般是可以利用排除法进行选择的。而“因子特征”排除是最常见的带入 排除方式。【例6】某商场促销，晚上八点以后全 场商品在原来折扣基础上再打 9.5折，付款时 满400元再减100元。已知某鞋柜全场8.5折，某人晚上九点多去该鞋柜买了一双鞋， 花了 384.5元，问这双鞋的原价为多少钱？（）【国家2008-58】A. 550 元 B. 600 元 C. 650 元 D. 700 元昭 J + 1004 曲:5【答案】B。该题属于经济利润

7、问题，根据题意可知：原价=笳= 0.85x0.95，对于该式子明 显很难算出，因此想到利用因子 特性。484.5里面有3因子，而0.85 和0.95里面都没有3因子，因此3因子没有被约掉，因此答 案中必然包含3因子。 选项中只有B包含3因子，因此选B例6中，式子已经列出但直接运算难求出答案。这种题型通常情况应用因子 特性 进行排除。【例7】某剧场共有100个座位，如果当票价为10元时，票能售完，当票价超过10 元时，每升高2元，就会少卖出5张票。那么当总的售票收入为1360元时，票价为 多少？（）【国2003A-8】A.12 元 B.14 元 C.16 元 D.18 元【答案】C。总收入=13

8、60=票价X票数，因此若票价 包含某因子则等式另一边1360也 包含该，同时，若1360不包含某因子，则票价也必然不能包 含该因子；1360不包含 3因子，而A和D包含3因子，因此A、D错误；同理，1360不包含7因子，因此B 错误，答案选C【例8】赵先生34岁，钱女士 30岁，一天，他们碰上了赵先生的三 个邻居，钱女士 问起了他们的年龄，赵先生说：他们三人的年 龄各不相同，三人的年龄之积是 2450， 三人的年龄之和是我俩年龄之和。问三个邻居 中年龄最大的是多少岁？A. 42 B . 45 C. 49 D. 50【答案】C。三人的年龄之积是2450，2450不包含3因子，因此选项中也不能包含

9、3Jx + y + 49 = 34 + 301 J.Q X V X V 丿已il I因子；排除A、;假设另外两个人年龄为x,y；假设C正确，则有：解得x=10， y=5，符合题意，因此选C例1-例6中，属于情况一，即等式一边包含某因子，则另一边必然包含该因子例2-例8中，属于情况二，即等式一边不包 含某因子，则另一边必然不包含该因 子三、总结“因子特性”不仅是秒杀的利器，而且不受题型的约 束。只要在等式中出现乘法，便可考虑应用“因子特性”进行排除。因此，建议考生，在备考过程中 一定要熟练掌握“因子特性法”，牢记“见到乘法想因子，见到乘法想因子 ”，培养成“因子特性” 排除思维，搭 上数学运算的

10、速度直通车。相遇（相离）问题的基本数量关系：速度和X相遇时间=相遇（相离）路程在相遇（相离）问题和追及问 题中，考生必须很好的理解各数量的含 义及其在数学运 算中是如何给出的，这样才能够提高解题速度 和能力。相遇问题的模 型为：甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后甲，乙在途中 相遇，实 质上是两人共同走了 A、B之间这段路程，如果两人同时出发，那么：A, B两地的路程=（甲的速度+乙的速度）X相遇时间二速度和X相遇时间 相遇问题的核心是“速度和”问题。例1.某校下午2点整派车去某厂接劳模作报告，往返需1小时。该劳模在下午1点就 离厂步行向学校走来，途中遇到接他的车，便坐上车去学校，于下午 2点

11、30分到达。 问汽车的速度是劳模步行速度的（）倍。A. 5B. 6 C. 7 D. 8【答案】A车往返需1小时，实际只用了 30分钟，说明车刚好在半路接到 劳模，故 有车15分钟所走路程二劳模75分钟所走路程。设劳模步行速度为a，汽车速度是劳 模的x倍，则可列方程，75a = 15ax，解得x= 5。例2.甲、乙两车从A、B两地同时出发，相向而行，如果甲车提前一段时间出发，那 么两车将提前30分相遇。已知甲车速度是60千米/时，乙车速度是40千米/时，那 么，甲车提前了多少分出发（）分钟。A. 30 B. 40 C. 50D. 60【答案】C本题涉及相遇问题。方程法：设两车一起走完 A、B两地

12、所用时间为x, 甲提前了 y 时，则有（60 + 40） x = 60y +（ x 30） + 40 （ x 30），y= 50。方法2:甲提前走的路程二甲乙共 同走30分钟的路程，那么提前走的时间为，30 (60 +40) /60=50。例3.甲、乙二人同时从相距60千米的两地同时相向而行，6小时相遇。如果二人每 小时各多行1千米，那么他们相遇的地点距前次相遇点1千米。又知甲的速度比乙的 速度快，乙原来的速度为()A. 3km/hB. 4 km/hC. 5 km/hD. 6 km/h【答案】B原来两人速度和为60宁6= 10 km/h，现在两人相遇时间为60宁(10 + 2)=5小时，设原来

13、乙的速度为X千米/时，因乙的速度 较慢，贝I5 ( X+ 1)= 6X + 1， 解得X = 4。注意：在解决这种问题的时候一定要先判 断谁的速度快。方法2:提速后5小时比原来的5小时多走了 5千米，比原来的6小时多走了 1千米， 可知原来1小时刚好走了 5 1 = 4千米。二次相遇问题 的模型为：甲从A地出发，乙从B地出发相向而行，两人在C地相遇， 相遇后甲继续走到B地后返回，乙继续走到A地后返回，第二次在D地相遇。则有：第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。例4.甲乙两车同时从A、B两地相向而行，在距B地54千米处相遇，它们各自 到达 对方车站后立即返回，在距A地42千米处相遇。请问A、B两地相距多少千米？A. 120B. 100C. 90D. 80【答案】A方程法：设两地相距x千米，由题可知，第一次相遇两车共走了 x,第二 次相遇两车共走了 2x，由于速度不变，所以，乙第一次相遇到第二次 相遇走的路程分 别为第一次相 遇的二倍，即54X2= x 54 + 42，得出x= 120。方法2:乙第二次相遇所走路程是第一次的二倍，则有54X2 42 + 54= 120。 总之，利用速度和与速度差可以迅速找到问题的突破口，从而保证了迅速解题。