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1、必修四 第四讲 三角恒等变换(一)班级姓名一、教材导读要点一：两角和、差的正、余弦、正切公式sin(a p) =cos(a p)二tan(a p)二要点二：二倍角公式在两角和的三角函数公式S p ,C p ,T p中，当a = p时，就可得到二倍角的三角函数公 a+p oc+p oc+psin 2a 二(S )2acos 2a =(C )；2 atan 2a =(T )2 a注意：二倍角公式不仅限于2a和a的二倍的形式，其它如4a是2a的二倍，3疋的一二倍， 3疋2的二倍等等要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系,才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公式的关键要点三：二倍角公式的推论升幕公
2、式：1 + cos2a = 2cos 2 a，1 - cos2a = 2sin 2 a降幂公式：sin a cos a = 1 sin 2a2sin 2 a =1-cos22_cos2 a =1+cos2方法梳理 ：三角恒等变换的基本题型三角式的化简、求值、证明是三角恒等变换的基本题型：1三角函数式的化简(1) 常用方法：直接应用公式进行降次、消项；切化弦，异名化同名，异角化同角; 三角公式的逆用等.(2)化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使项数尽量少；尽量使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数. 2三角函数的求值类型有三类(1) 给角求值：一般所给出的角都是非特殊角
3、，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三 角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；(2) 给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”女叫二(a + p )-p, 2a= (a + p ) + (a-p )等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；(3) 给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的 范围及函数的单调性求得角.3.三角等式的证明：(1)三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换， 应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；(2)三角条件等式的证题
4、思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入 法、消参法或分析法进行证明.二、典型例题类型一：正用公式例1.已知：sm a =2,cos p = -134求cos(a - p)的值.【思路点拨】因为不知道角a,p所在的象限，所以要对a,P分别讨论求cos(a- p)的值.【变式】已知tan* =1，求sin(a + ?)的值.2 2 6例2已知扌 扌兀0 卩 晋cos吟-a） = 5血百卩）=13，求sinQ + B）的值【思路点拨】注意至（4兀+卩）（才Q）= 2 + Q +卩），应把（4Q）（4兀+卩）看成整 体，可以更好地使用已知条件.欲求sin（a + B），只需求出一co
5、s（ + a +卩）兀4兀兀【变式】已知cos（0 ）= 一 且 0兀求cos （20 +）的值.125212兀兀兀【思路点拨】角的关系式：20+石=2（0-百）+（和差与倍半的综合关系）12124类型二：逆用公式例 3.求值：(1) 1 +tan75 ；(2) (sin 23。cos8 + sin 67 cos98)(sin4 7。30-cos4 7。30)1 - tan 75o【思路点拨】 题目中涉及到的角并非特殊角，而从式子的结构出发应逆用和角公式等先化 简再计算(1 )利用 tan 45 = 1 将 1 + tan15 视 为 tan 45 + tan15 ,将 l-tanl5 视 为
6、 1 - tan 45 tan15 ，则式子恰为两角和的正切.变式 1】化简：(1) 2cos15 + 2、：3sinl5 ； (2) 2cos x 一 2j3sin x ； (3)2cos x + 2 sin x3【变式2】已知sin（a-卩）cosa-cos（a-卩）sina = 5，那么cos20的值为（）718 718AB C.-D.25252525兀23例 4.求值：（ 1）cos36cos72；(2) cos cos兀 cos兀777思路点拨】问题的特征是角存在倍角关系，且都是余弦的乘积方法是分子分母（分母 视为 1）同乘以最小角的正弦【变式】求值：cos 20 cos 40 co
7、s80 0三、巩固练习1.化简 sin119 sin181 sin91 sin29 等于(1AA 21B.- 2则 tan a tan P 等于()432.若 cos(a + p )=5， cos(a p )= 一 5 ,1A. 77B. - 51C.10D. -73.已知 sin a + sin P + sin y=O,cos a + cos P + cosy = 0，则 cos(p-y)的值是(A. 1B.-11C.-21D.24. A ABC 中，若C 90 ,则tanAtanB与1的大小关系是(A. tanAtanB1B. tanAtanB 1C. tanAtanB =1D.不能确定5
8、.已知e是锐角，那么下列各值中，sine +cose能够取得的值是3B.45 CP1D.26.若 sin a +cos a 咅兀(0a 2 sin( x + p)(其中P角所在象限由a,b的符号确定，p角的值由tan-确定，或由abasin p =和cos p =共同确定.)a 2 + b 2a 2 + b 22.辅助角公式在解题中的应用通过应用公式 a sin x + b cos x = a2 + b2 sin(x + p),将形女口 a sin x + b cos x ( a,b 不同时为零)收缩为一个三角函数a2 + b2 sin(x + Q).这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数
9、值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等.二、例题剖析 三角函数知识的综合应用例 1、函数 f (x)二 sin 2 x +p3cos2x(1將 f (x)化为 Asingx+0)的形式;求出f (x)的最大、最小值；(3)求出f (x)的周期；(4)求f (x)的单调增区间.例 2、设 f x丿=4cos(x - )sin x - cos(2x + 兀) 其中6(I)求函数y = f(x)的值域(II)若f(x)在区间芋,2上为增函数，求的最大值. 厶 厶思路点拨】本题以三角函数的化简求值为主线，三角函数的性质为考查目的的一道综合题，” 3兀兀n2 一 4 考查
10、学生分析问题解决问题的能力，由正弦函数的单调性结合条件可列,兀 兀 、24从而解得的取值范围，即可得的最在值.例 3.求函数 y = sinx + cosx sinxcosx ； x e ,的值域4 4【思路点拨】设sin x + cosx = t，贝Isinxcosx =然后把y转化为关于t的二次函数,利用配方法求 y 的最值.三、巩固练习1、若 一 x , 则f (x)二J3sin x + cos x的取值范围是A. 2,2c. =3,22、兀如果函数y = sin2 x + a cos2 x的图象关于直线x = 对称,8那么a等于（）3、B. 1c. -、!iD.-1为正实数，函数心=2sin ；x cos；x在气,却上为增函数，则（）B. 0 2c. o“ 0),函数 f (x) = m - n 的最大值为6.(1)求 A ;兀仃i)将函数y = f (x)的图象向左平移12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原15兀来的2倍,纵坐标不变，得到函数y二g (x)的图象求g (x)在，茹上的值域.6、已知函数f(x) = sin2x + J3sinxsin x + ( 0 )的最小正周期为n(I)求的值；(II)求函数f (x)在区间| 0,3 I上的取值范围.
