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1、 . 通项公式求解方法大全:我现在总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。一、观察法数列前假设干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。例1.数列试写出其一个通项公式：_答：例2、(1)观察数列的结构特征，每一项都是一个分式，分母是数列2，4，8，16，32，可用项数表示为分子是数列1，3，7，15，31， 每一项比对应的分母少1，可用项数表示为所以，所求的数列的通项公式是(2)这个数列即：其结构特征是：分母与项数一样；分子是2加上或减去l，即各项的符号为负、正相间，即为所以，所求的通项公式是(3)观察数列的项，这个数列可以按分母
2、、分子由小到大重新排列为：分母、分子各自成等差数列，显然，其通项公式为(4)每一项都是项数的平方加上1，其通项公式为(5)通项公式是(6)仔细观察各项，不难发现其项与项之间有如下规律：二、递推公式法类型1解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例1.满足，而且，求通项。解是首项为1，公差为2的等差数列，例2. 中，求通项。解由可得，令，代入后个等式迭加，即。例3.在数列中，=1， (n=2、3、4) ，求的通项公式。解：这n-1个等式累加得：=故且也满足该式 ().类型2解法：形如 (n=2、3、4)，且可求，那么用累乘法求。例1、满足，而，求通项。解是常数，是以2为首项，公比
3、为的等比数列。例2、在数列中，=1，求。解：由得，分别取n=1、2、3(n-1),代入该式得n-1个等式累乘，即=123(n-1)=(n-1)!所以时，故且=1也适用该式 ().例3、在数列中，求通项公式。解法一：解法二：由类型3其中p，q均为常数，。解法待定系数法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例1、数列中，对于有，求通项。解法1 由递推式得两式相减得因此数列是公比为3的等比数列，其首项为解法2 上法得是公比为3的等比数列，于是有把个等式相加得。解法3 设递推式化为整理比拟得，即于是得所以是公比为3的等比数列，其首项为，即。解法4 评注解法1、2、3称为构造法，
4、但法1与法3构造出的等比数列不同，各有千秋；解法4称为迭代法，对很多递推式求通项公式都适用，应认真理解掌握。类型4其中p，q均为常数，。或,其中p，q, r均为常数。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列其中，得：再待定系数法解决。例1、中，求通项解在两边同乘以得，令那么类型5递推公式为其中p，q均为常数。解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为其中s，t满足解法二(特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。假设是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定即把和，代入，得到关于A、B的方程组；当时，数列的通项为，其中A，B由决定即把和，
5、代入，得到关于A、B的方程组。方法：变形为，即，假设有解，解得，于是数列是公比为的等比数列，即转化为前面的类型，从而到达求解的目的。例1、数列中，求解：由，故化为所以数列是公比为的等比数列，首项是所以，所以类型6递推式为。例1、在数列中，表示其前项的和，且，求通项。解当时，。当时，又，故类型7递推公式为与的关系式。(或)解法：这种类型一般利用与消去或与消去进展求解。例1、在数列中，表示其前项的和，且，求通项。解由两式相减得即所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故得。类型8 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与递推式比拟，解出,从而转化为是公比为的等比数列。例1数列：，求.
6、解：设，将代入递推式，得那么,又，故代入得说明：1假设为的二次式，那么可设;(2)此题也可由 ,两式相减得转化为求之.类型9解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。例1、在数列中，求通项公式。解由题意知数列中的各项均为正数，即，对等式取以3为底的对数，得，那么有，进而可知数列是以为首项，以2为公比的等比数列，那么，故。类型10 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。例1、在数列中，当时，求通项。解由，所以是以为首项，以为公差的等差数列。所以，即。评注：在递推关系，假设，对其取倒数后得到等差数列；假设，取其倒数后得到一个新的递推式，其解法于后。例2、数列中，其
7、中，且当n2时，求通项公式。解将两边取倒数得：，这说明是一个等差数列，首项是，公差为2，所以，即.类型11解法：如果数列满足以下条件：的值且对于，都有其中p、q、r、h均为常数，且，那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,那么是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时，那么是等比数列。类型12 不动点法对于数列，是常数且其特征方程为，变形为假设有二异根，那么可令其中是待定常数，代入的值可求得值这样数列是首项为，公比为的等比数列，于是这样可求得假设有二重根，那么可令其中是待定常数，代入的值可求得值这样数列是首项为，公差为的等差数列，于是这样可求得例1数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，化
8、简得，解得，令由得，可得，数列是以为首项，以为公比的等比数列，例2数列满足，求数列的通项解：其特征方程为，即，解得，令由得，求得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，类型13或解法：这种类型一般可转化为与是等差或等比数列求解。类型14双数列型解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。类型15周期型解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。三、换元法例1数列满足，求数列的通项公式。解：令，那么故，代入得即因为，故那么，即，可化为，所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，那么，即，得。评注：此题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。 /
