《高三数学第一轮复习讲解正弦定理和余弦定理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学第一轮复习讲解正弦定理和余弦定理（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、浙江省台州市临海市第六中学高三数学第一轮复习讲解 正弦定理和余弦定理1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容2R(R为外接圆半径)a2b2c22；b2c2a22；c2a2b22变形形式a2，b2，c2； A， B， C；abc；. A； B； C.2.正弦定理解决的问题有哪两类？提示：(1)已知两角和任一边，求其他边和角；(2)已知两边和其中一边的对角，求其他边和角3余弦定理解决的问题有哪三类？提示：(1)已知三边，求各角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；(3)已知两边和其中一边的对角，求其他角和边温馨提示：解斜三角形的类型：(1)已知两角一边，用正弦定理，有解时，只有一
2、解(2)已知两边与其一边的对角，用正弦定理，有解的状况可分为以下状况，在中，已知a、b和角A时，解的状况如下：A为锐角A为钝角图形关系式a A Aababab解个数一解两解一解一解上表中A为锐角时，a A时，无解；A为钝角时，ab，ab均无解(3)已知三边，用余弦定理有解时，只有一解(4)已知两边与夹角，用余弦定理，必有一解4三角形面积设的三边分别为a、b、c，所对的三个角分别为A、B、C，其面积为S.(1)S(h为边上的高)；(2)S C.1(2013高考北京卷)在中，a3，b5， A，则 B() D1解析：选B.在中，由正弦定理，得 B.2在中，若a18，b24，A45，则此三角形有()A
3、无解 B两解C一解 D解的个数不确定解析：选B. A12ab.三角形的个数有两个3(2014兰州调研)在中，a3，b2， C，则的面积为()A3 B2C4 解析：选C. C， C，S C324.4在中，B60，b2，则的形态为解析：由余弦定理得b2a2c22 60，即a22acc20，ac.又B60，为等边三角形答案：等边三角形5(2013高考安徽卷)设的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若bc2a,3 A5 B，则角C.解析：由3 A5 B，得3a5b.又因为bc2a，所以ab，cb，所以 C.因为C(0，)，所以C.答案：利用正、余弦定理解三角形(2013高考山东卷)设的内角A，B
4、，C所对的边分别为a，b，c，且ac6，b2， B.(1)求a，c的值； (2)求(AB)的值解(1)由余弦定理b2a2c22 B，得b2(ac)22ac(1 B)，又b2，ac6， B，所以9，解得a3，c3.(2)在中， B，由正弦定理得 A.因为ac，所以A为锐角所以 A.因此(AB) B B.在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，假如式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；假如式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到1(2012高考浙江卷)在中，
5、内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 A B.(1)求角B的大小；(2)若b3， C2 A，求a，c的值解：(1)由 A B与正弦定理，得 B B.所以 B，所以B.(2)由 C2 A与，得c2a.由b3与余弦定理b2a2c22 B，得9a2c2.所以a，c2.利用正、余弦定理判定三角形的形态在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2 A(2bc) B(2cb) C.(1)求A的大小；(2)若 B C1，试推断的形态解(1)由已知，依据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2.由余弦定理得a2b2c22 A，故 A，A120.(2)由得2A2B2C C.又 B C1，
6、故 B C.因为0B90，0C90，故BC.所以是等腰钝角三角形推断三角形的形态，主要有如下两种途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而推断三角形的形态；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角三角函数间的关系，通过三角函数恒等变换，得出内角的关系，从而推断出三角形的形态，此时要留意应用ABC这个结论，在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解2(1)在中，2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则的形态为；(2)在中，若b C，c B，则的形态为解析：(1)2， A.由余弦定理，a2b2c2，为直角三
7、角形(2)由b C可知 C，由c B可知ca，整理得b2c2a2，即三角形肯定是直角三角形，A90， C B，BC，故为等腰直角三角形答案：(1)直角三角形(2)等腰直角三角形与三角形面积有关的问题(2013高考湖北卷)在中，角A，B，C对应的边分别是 a，b，c，已知 2A3(BC)1.(1)求角A的大小；(2)若的面积S5，b5，求 C的值解(1)由 2A3(BC)1，得22A3 A20，即(2 A1)( A2)0.解得 A或 A2(舍去)因为0A，所以A.(2)由S A5，得20.又b5，所以c4.由余弦定理得a2b2c22 A25162021，所以a.从而由正弦定理得 C A A2A.
8、三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S C B A，一般是已知哪一个角就运用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化3在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2 2 b.(1)求证：a，b，c成等差数列；(2)若B60，b4，求的面积解：(1)证明：22acb，则a(1 C)c(1 A)3b.由正弦定理，得 A C C C3 B，即 A C(AC)3 B， A C2 B.由正弦定理得，ac2b，故a，b，c成等差数列(2)由B60，b4与余弦定理，得42a2c22 60.(ac)23ac16，又由(1)知ac2b，代入上式得4b23ac16，解得16，的面积S B 604.
