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1、专项训练：二项式定理(教师版)一、单选题1. 若(* + 2)(凹一工)展开式的常数项等于-80,则。=()A. -2B. 2C. -4D. 4【答案】A【解析】【分析】用(-X)5展开式中的常数项(此式中没有此项)乘以2加上(g 4展开式中的广XX系数乘以1即得己知式展开式的常数项.【详解】由题意C3x(-1)2=-8O,解得a = -2.故选A.【点睛】本题考查二项式定理，解题关键是掌握二项展开式的通项公式，同时掌握多项式乘法法则.2. (2x2-x-1)5的展开式中F的系数为()A. 400B. 120C. 80D. 0【答案】D【解析】【分析】变形已知为(2.，-x-l)s =(x-1
2、)5(2x+1)5，分别写出两个二项式展开式的通项C；x5r(-iy, C；(2x)J,可知(2x2-a:-1)5=U-1)5(2x + 1)5的通项为(-l)r25-*C；C10-a+r),即可求解.【详解】V(2x2-x-1)5=(x-1)5(2x + 1)5,二项展开式(x-1)5 的通项为C；x5-r(-l)r,二项展开式(2x+1)5的通项式为C；(2x)j, (x-1)5(2x+1)5的通项为(-l)r25-*C；C*x,0-a+r),所以# +尸=8,所以展开式中尸的系数为(-1)5 2 + (-1)4 2C；C； + (-1)3 C；C； = 0 .故答案为：40.【点睛】（1
3、）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中和广的隐含条件，即，广均为非负整数，且广，如常数项指数为零、有理项指数为整数等）；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.20. （l + x-2x2）5展开式中的脖的系数为【答案】30【解析】【分析】利用组合知识，5个l + x-2x2相乘，其中含V的项，可以5个括号中3个取_2尸，剩余2个取也可以2个取-2尸剩余的3个括号中选2个取X,剩余1个取还可以5个括号选一个取2亍，剩
4、余4个取工，这3项的系数和即为所求.【详解】利用组合知识，含决的项可以分3种情况取得，第一种取3个-2亍，剩余两个取1,即C；（-2J）3 .第二种选2个括号提供2/ ,剩余的3个括号中选2个取x ,剩余1个取即C；（-2/）2C；x2,第三种S个括号选一个取一2J，剩余4个取工，即C；（-2F）%4,合并同类项，系数为-80+120-10 = 30,故填【点睛】本题主要考查了含三项的二项式展开式问题，利用组合知识解决比较简单，属于中档题./1、821.在X3- 的展开式中，X的系数为I 2xJ【答案】二4【解析】【分析】由二项式展开的通项公式（尸广?：P 2x-以确定k=5，即可得到的系数。
5、【详解】1 x24-4A2x2由题意可知24- 4k =4,解得k=5【点睛】令字母的指数符合，代回通项即可。求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项后,要求（求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等），解出【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项，利用通项求二项式的特定项，属丁难题.二、填空题3. 己知?0,若（1 + K沪的展开式中亍的系数比*的系数大30,则 z=.【答案】2【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得m的值.【详解】（l + ir）5展开式通项为：Te=C；*. m 0 （1 +，心）s的展开式中x2的系数比x的系数大30C；tn
6、2 Cn = 30,即：2m2 m 6 = 03解得：m =（舍去）或? = 22本题正确结果：2【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.4. 二项式（2*-二）6展开式的常数项为第项.2x【答案】4【解析】【分析】由二项式展开式的通项公式得：T3 = C； （2x） 6、（_J_）,=（_ ）。6-2，渺-2。当62x-2r=o.即,=3时，久为常数项，即二项式（2x!-）6展开式的常数项为第4项，得2x解.【详解】由二项式展开式的通项公式得：（2、）GV（一-=C； （-1）CZG-2*2x当么-2lQ,即r=3时，R为常数项,即二项式(2
7、工-)6展开式的常数项为第4项，2x故答案为：4.【点睛】本题考查了二项式展开式的通项，属基础题.H(15. =(4sinjv+cosx)必r，则二项式x 的展开式中工的系数为.【答案】2Q【解析】【分析】先求定积分得，再根据二项展开式通项公式得结果.【详解】2因 为 =J(4sinx + cosx)k = (-4cosx+sinx)o712=5,0所以 7；h = cx5-r(-y = c；x52r(-y,令5-2r = l得尸=2,所以展开式中X的系数为C；(-l)2 = 10.【点睛】本题考查定积分以及二项展开式定理，考查基本分析求解能力，属中档题.6. 设。=，奴则二项式=-心展开式中
8、含/项的系数是.【答案】一80【解析】【分析】首先确定的值，然后结合二项式定理展开式的通项公式即可确定含x2项的系数.【详解】1 22 1由题意可得：ci - xdx = -x2 =-x4 = 2 ,i2 0 2令 = 2可得尸=3,贝康开式中含尸项的系数是(-2)3(=-8x10 = -80.【点睛】本题主要考查定积分的计算，二项式展开式通项公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.的展开式中J)，?的系数为【答案】70.【解析】/、8试题分析：设 牛-辛 的展开式中含尸)，2的项为第,+项，则由通项知Uy W)(_Lr ( _1 Y_ 8- _丑Tr+l = C；=(-l)
9、rQx_r _r/+r .令- + 8-r = 2,解得尸=4,考点：二项式定理.8.在仃+驴的展开式中，含乂3项的系数为.(用数字填写答案)【答案】20【解析】试题分析：由题意可得G+1 = q2-3r,令12 _3r = 3,.r = 3,.T4 =。打3 = 20工3,综上所述，的系数为20,故答案为20.考点：1、二项展开式的通项公式；2、二项展开式的系数.【答案】270的展开式中的系数为.(用数字作答)【解析】【分析】先根据二项式展开式通项公式求尸的项数，再代入得结果.【详解】因为砺=。(3寸)5(_&)r = C；1)七，所以由10-寻=3得,=2,因此V的系数为C3)X(_1)2
10、=27O.【点睛】本题考查二项式展开式求特定项系数，考查基本求解能力，属基础题.10. (2-x) (l + 2x)5展开式中，含亍项的系数为.【答案】70【解析】【分析】(1 + 2站展开式的通项公式为：4* = 2*C；xk，结合题意，令k = 2,此时项数为40 / ,令k = l,此时项数为10工，据此即可确定J项的系数.【详解】(l + 2x)5展开式的通项公式为：Lh =C；(2x)“ =2七,令k = 2,此时项数为：2*cy =22-Cx2=40x2,令k = l,此时项数为：21-C；-x=2-5 x=10x,综上可得：含 j 的项为 2x40x2-x-10x = 80x2
11、-10x2 = 70x2，含尸项的系数为70.【点睛】(1) 二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中和/的隐含条件，即，/均为非负整数，且2尸，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.(2) 求两个多项式的积的特定项，口J先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.11. (1+!)(1-2x)5的展开式中尸的系数为.【答案】-40【解析】【分析】利用多项式乘以多项式展开，然后分别求出两项中含有方的项得答案.【详解】解:1 + - (1 - 2x)5 =
12、(1 - 2x)5 4- - (1 - 2.v)5,V(l-2x)5的展开式中含F的项为C； .(-2x)2=40x2,-(l-2x)5的展开式中含F的项为Lc； .(2x)3 = -80x2.XX工+ ：)(1 + 2_沪的展开式中，X2的系数为40-80=-40.故答案为：-40.【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1) 求展开式中的特定项.可依据条件写出第广+1项，再由特定项的特点求出广值即可.(2) 已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第/+1项，由特定项得出尸值，最后求出其参数.12. 二项式(&_品户的展开式中常数项为【答案】-10.【解
13、析】试题分析：由二项式定理可知，二项式展开的第r + 1项为4+1 = (-1)4 =6*5 (l)rX26,令： ：r = 0,则r = 3, .A = C?(1)3 =10.考点：二项式定理.13. (2-3x)2(1-x)7的展开式中，P的系数为.【答案1 -455【解析】【分析】由二项式定理的通项公式求解即可【详解】依题意，F的系数为4xC；x(-1)3-12xC；x(-1)2+9xC；x(-1) = -455.故答案为-455【点睛】本题考查二项式定理，考查推理论证能力以及分类讨论思想，是基础题14. (2x-)”(n为正整数)的展开式中各项的二项式系数之和为128,则其展开式中含x
14、项的系数是.【答案】-560【解析】【分析】根据二项式系数之和求得，根据二项式展开式的通项公式求得含*项的系数.【详解】依题意可知2 = 128,解得 =7,(2-x-1)7展开式的通项公式为C； -(2xr(-X-) = (-1) 27-r -C； -x72r,当7-2r = 1 时 r = 3,故含工项的系数为(-1)，2冬；=-560.【点睛】本小题主要考查二项式系数和，考查二项式展开式的通项公式以及二项式展开式中指定项的系数的求法，属于基础题.15. 已知(2x +1 )4 =+ a3x3 + a2x2 + axx + %,则 =.【答案】8【解析】【分析】由题意可知表示二项式展开式中次项的系数，利用二项式展开式的通项公式即可求出4【详解】由题意可知表示二项式展开式中一次项的系数，v(2.r + l)4展开式的通项公式7；H=C：(2x)J(l)r,当尸=3时，有=席(2州3=8,% =8【点睛】本题考查二项式展开式中某一项系数的求法，熟练掌握展开式的通项公式是关键，属于基础题。
