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1、原子物理学习题解答刘富义编临沂师范学院物理系 理论物理教研室第一章 原子的基本状况1.1 若卢瑟福散射用的a粒子是放射性物质镭C 放射的，其动能为 7.68 106 电子伏特。散射物质是原子序数 Z = 79 的金箔。试问散射角q = 150o 所对应的瞄准距离b多大？解：根据卢瑟福散射公式：得到：c o t q2= 4 p e 0M v 2b =2 Z e 24 p e 0 K a bZ e 2Z e2ctg q7 9 (1 .6 0 1 01 9 ) 2 ctg 1 5 0o 2 2 - 1 5b =4pe K= = 3 .9 7 1 0 米( 4p 8 .8 5 1 0 - 1 2 )
2、(7 .6 8 1 06 1 0- 1 9 )0a式中 Ka= 1 Mv 2 是a 粒子的功能。1.2 已知散射角为q 的a粒子与散射核的最短距离为12 Z e 21r m =(4 p e)M v 2( 1 +)s i n q，试问上题a粒子与散射的金原子核02之间的最短距离rm 多大？解：将 1.1 题中各量代入rm 的表达式，得：1 2 Z e21rm i n= (4p e)Mv2(1 +)s i n q02= 9 1 0 9 4 7 9 (1 .6 0 1 0 - 1 9 ) 27 .6 8 1 0 6 1 .6 0 1 0 - 1 9 (1 +1)sin 7 5o= 3 .0 2 1
3、0 - 1 4 米1.3 若用动能为 1 兆电子伏特的质子射向金箔。问质子与金箔。问质子与金箔原子核可 能达到的最小距离多大？又问如果用同样能量的氘核（氘核带一个 +e电荷而质量是质子的 两倍，是氢的一种同位素的原子核）代替质子，其与金箔原子核的最小距离多大？解：当入射粒子与靶核对心碰撞时，散射角为180o 。当入射粒子的动能全部转化为两粒子间的势能时，两粒子间的作用距离最小。根据上面的分析可得：1 M v 2= K p =Ze 2，故有： rm i n =Z e 224 pe 0 r m i n4 p e 0 K p7 9 (1 . 6 0 1 0 - 1 9 ) 2= 9 1 0 9 =
4、1 . 1 4 1 0 - 1 3 米1 0 6 1 . 6 0 1 0 - 1 9由上式看出：rmin 与入射粒子的质量无关，所以当用相同能量质量和相同电量得到核代替质子时，其与靶核的作用的最小距离仍为1.14 10-13 米。1.4 钋放射的一种a粒子的速度为1.597 107 米/秒，正面垂直入射于厚度为10-7 米 、密度为1.932 104 公斤/ 米3 的金箔。试求所有散射在q 90o 的a粒子占全部入射粒子数的百分比。已知金的原子量为197 。解：散射角在q : q + dq 之间的a粒子数dn与入射到箔上的总粒子数 n 的比是：d n =nN td s其中单位体积中的金原子数：
5、 N =r / mAu =r N0/ AAu而散射角大于 900 的粒子数为：d n dn = dn = nNtp ds2所以有：n= N tp d s2r N1 2 Ze 2c o s qo= 0 t ( ) 2 p ( ) 2 1 8 0 2 dqAA u4 pe 0M u 29 0 os i n 3 q2cos qI = 180 2d sin qdq = 2 180 2 = 1等式右边的积分：90osin 3 q=90osin 3 q2 2故2d n =rN0 t ( 1) 2 p ( 2 Z e ) 2nA Au4p e0- 6Mu2- 4 0 8 . 5 1 0= 8 . 5 1 0
6、 0即速度为1.597 107 米 / 秒 的a粒子在金箔上散射，散射角大于 90o 以上的粒子数大约是8.5 10-4 001.5a粒子散射实验的数据在散射角很小（q 15o）时与理论值差得较远，时什么原因？答：a粒子散射的理论值是在“一次散射“的假定下得出的。而a 粒子通过金属箔，经过好多原子核的附近，实际上经过多次散射。至于实际观察到较小的q 角，那是多次小角散射 合成的结果。既然都是小角散射，哪一个也不能忽略，一次散射的理论就不适用。所以，a 粒子散射的实验数据在散射角很小时与理论值差得较远。1.6 已知a 粒子质量比电子质量大 7300 倍。试利用中性粒子碰撞来证明：a粒子散射“受
7、电子的影响是微不足道的”。r rr证明：设碰撞前、后a粒子与电子的速度分别为：v , v, 0, ve 。根据动量守恒定律，得：rrv a v ar+ve由此得： r a am r ve =M1 r ve7300(1)又根据能量守恒定律，得： 12 1 2 1 2Mv a =22 2Mv a +2m 2mv e2（2）va = va将（1）式代入（2）式，得：+ veM2 = v 2 + 7300v vv a v a )整理，得：v2 (7300 - 1) + v 2 (7300 + 1) - 2 7300 v vcos q = 0a a a aQ 7300 1vv 上式可写为：7300（ v
8、 a- v ) 2 = 0vvv a v a = 0即a粒子散射“受电子的影响是微不足道的”。1.7 能量为 3.5 兆电子伏特的细a粒子束射到单位面积上质量为1.05 10 -2 公斤 / 米2的银箔上，a粒子与银箔表面成 60o 角。在离 L=0.12 米处放一窗口面积为 6.0 10 -5 米2的计数器。测得散射进此窗口的a 粒子是全部入射a粒子的百万分之 29。若已知银的原子 量为 107.9。试求银的核电荷数 Z。解：设靶厚度为t 。非垂直入射时引起a粒子在靶物质中通过的距离不再是靶物质的厚20度t ，而是t = t / sin 60o ，如图 1-1 所示。因为散射到q 与q +
9、dq 之间dW 立体 角内的粒子数 dn 与总入射粒子数 n 的比为：60d n =n而ds 为：N td s2(1)60t,t图 1.1d s = (14pe 0) 2 ( ze) 2Mv 2d Wsin 4 q2（2）把（2）式代入（1）式，得：dn = Nt (n14pe0) 2 ( ze ) 2Mv2dWsin 4 q2（3）式中立体角元dW = ds/ L2 ,t = t / sin 600 = 2t /3,q = 200N 为原子密度。 Nt 为单位面上的原子数， Nt = h/ m= h (AAg/ N ) -1 ，其中h是单位面积式上的质量；m Ag 是银原子的质量； AAg
10、是银原子的原子量； N0 是阿佛加德罗常数。将各量代入（3）式，得：dn = =2hN 0 ( 1) 2 (ze 2 dW) 2n由此，得：Z=473 AAg4 pe 0Mv 2sin 4 q21.8 设想铅（Z=82）原子的正电荷不是集中在很小的核上，而是均匀分布在半径约为10-10 米的球形原子内，如果有能量为106 电子伏特的a粒子射向这样一个“原子”，试通过计算论证这样的a粒子不可能被具有上述设想结构的原子产生散射角大于 900 的散射。这个结论与卢瑟福实验结果差的很远，这说明原子的汤姆逊模型是不能成立的（原子中电子的影响可以忽略）。 解：设a 粒子和铅原子对心碰撞，则a 粒子到达原子
11、边界而不进入原子内部时的能量有下式决定：1 Mv2 = 2Ze 2 / 4pe R = 3.78 10 -16 焦耳 2.36 103电子伏特20由此可见，具有106 电子伏特能量的a粒子能够很容易的穿过铅原子球。a粒子在到达原子表面和原子内部时，所受原子中正电荷的排斥力不同，它们分别为：F = 2Ze 2 / 4pe R2 和F = 2Ze 2 r/ 4pe R 3 。可见，原子表面处a 粒子所受的斥力最大，越00靠近原子的中心a粒子所受的斥力越小，而且瞄准距离越小，使a粒子发生散射最强的垂 直入射方向的分力越小。我们考虑粒子散射最强的情形。设a粒子擦原子表面而过。此时受力为 F = 2Ze 2 / 4pe R2 。可以认为a 粒子只在原子大小的范围内受到原子中正电荷的作 用，即作用距离为原子的直径 D。并且在作用范围 D 之内，力的方向始终与入射方向垂直，大小不变。这是一种受力最大的情形。根据上述分析，力的作用时间为 t=D/v,a粒子的动能为 1 Mv 2 = K ，因此，2v =2K / M ，所以，t = D/ v = DM / 2K根据动量定理：tFdt = p- p 0 = Mv - 00 而 t22 t220 Fdt = 2Ze
