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1、第一讲数的整除一、内容提要：如果整数A除以整数B(B0)所得的商A/B是整数,那么叫做A被B整除。0能被所有非零的整数整除. 一些数的整除特征除 数 能被整除的数的特征2或5末位数能被2或5整除 4或25末两位数能被4或25整除8或125末三位数能被8或125整除3或9各位上的数字和被3或9整除(如771，54324) 11奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被11整除(如143,1859,1287,908270等)7,11,13从右向左每三位为一段,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减,其差能被7或11或13整除.(如1001，22743，17567，21281等)能被7整除的数的特征
2、：抹去个位数减去原个位数的2倍其差能被7整除。如1001100298（能被7整除）又如700770014686，681256（能被7整除）能被11整除的数的特征：抹去个位数减去原个位数其差能被11整除如1001100199（能11整除）又如10285102851023102399（能11整除）二、例题例1已知两个三位数328和的和仍是三位数且能被9整除。求x,y解：x,y都是0到9的整数，能被9整除，y=6.328567，x=3例2已知五位数能被12整除，求解：五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，当1234能被3整除时，x=2，5，8当末两位能被4整除时，0，4，88例3求能被11整除
3、且各位字都不相同的最小五位数解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（124）（03）4，不能被11整除，只调整末位数仍不行调整末两位数为30，41，52，63，均可，五位数字都不相同的最小五位数是10263。练习一1、分解质因数：（写成质因数为底的幂的连乘积）75618591287327610101102962、若四位数能被3整除，那么 a=_3、若五位数能被11整除，那么_4、当m=_时，能被25整除5、当n=_时，能被7整除6、能被11整除的最小五位数是_,最大五位数是_7、能被4整除的最大四位数是_，能被8整除的最大四位数是_。8、8个数：125，756，1011，2457，7
4、855，8104，9152，70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6_,8_,9_,11_9、从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_个，能被3整除但不是5的倍数的共_个。10、由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3整除的数共有几个？为什么？11、已知五位数能被15整除，试求A的值。12、求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数。13、在十进制中，各位数码是0或1，并能被225整除的最小正整数是_（1989年全国初中联赛题） 第二讲 倍数约数一、内容提要1、两个整数A和B（B0），如果B能整除A（记作BA），那么A叫做B的倍数，B叫
5、做A的约数。例如315，15是3的倍数，3是15的约数。2、因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除。0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数。如0是7的倍数，7是0的约数。3、整数A（A0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，A，2A，都是A的倍数，例如5的倍数有5，10，。4、整数A（A0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括1和A。例如6的约数是1，2，3，6。5、通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几个正整数有最小的公倍数和最大的公约数。6、公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）。7、在有余数的除法中，被除数除数
6、商数余数。若用字母表示可记作：ABQR，当A，B，Q，R都是整数且B0时，AR能被B整除。例如23372，则232能被3整除。二、例题例1写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以应用：2，22，23，24，3，32，33，34，23，223，2232。解：列表如下正整数正约数个数计正整数正约数个数计正整数正约数个数计21，2231，32231，2，3，64221，2，43321，3，3232231，2，3，4，6，126231，2，4，84331，3，32，33422321，2，3，4，6，9，12，18，369241，2，4，8，165341，3，32，33，345其规律是
7、：设Aambn(a，b是质数,m，n是正整数)，那么合数A的正约数的个数是（m+1）(n+1)例如求360的正约数的个数解：分解质因数：36023325，360的正约数的个数是（31）（21）（11）24（个）例2用分解质因数的方法求24，90最大公约数和最小公倍数解：24233，902325最大公约数是23， 记作（24，90）6最小公倍数是23325360， 记作24,90=360例3已知32，44除以正整数N有相同的余数2，求N解：322，442都能被N整除，N是30，42的公约数（30，42）6，而6的正约数有1，2，3，6经检验1和2不合题意，N6，3例4一个数被10除余9，被9除余
8、8，被8除余7，求适合条件的最小正整数分析：依题意如果所求的数加上1，则能同时被10，9，8整除,所以所求的数是10，9，8的最小公倍数减去1。解：10,9,8=360,所以所求的数是359练习二1、12的正约数有_,16的所有约数是_2、分解质因数300_,300的正约数的个数是_3、用分解质因数的方法求20和250的最大公约数与最小公倍数。4、一个三位数能被7，9，11整除，这个三位数是_5、能同时被3，5，11整除的最小四位数是_，最大三位数是_6、已知14和23各除以正整数A有相同的余数2，则A_7、写出能被2整除，且有约数5，又是3的倍数的所有两位数。8、一个长方形的房间长1.35丈
9、，宽1.05丈，要用同一规格的正方形瓷砖铺满，问正方形最大边长可以是几寸？若用整数寸作为边长，有哪几种规格的正方形瓷砖适合？9、一条长阶梯，如果每步跨2阶，那么最后剩1阶；如果每步跨3阶，那么最后剩2阶；如果每步跨4阶，那么最后剩3阶；如果每步跨5阶，那么最后剩4阶；如果每步跨6阶，那么最后剩5阶；只有每步跨7阶，才能正好走完不剩一阶，这阶梯最少有几阶？第三讲质数合数一、内容提要1、正整数的一种分类： 质数的定义：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）。合数的定义：一个正整数除了能被1和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数。根椐
10、质数定义可知质数只有1和本身两个正约数。质数中只有一个偶数2。如果两个质数的和或差是奇数，那么其中必有一个是2；如果两个质数的积是偶数，那么其中也必有一个是2。3、任何合数都可以分解为几个质数的积。能写成几个质数的积的正整数就是合数。二、例题例1两个质数的和等于奇数a (a5)，求这两个数。解：两个质数的和等于奇数必有一个是2所求的两个质数是2和a2。例2已知两个整数的积等于质数m, 求这两个数。解：质数m只含两个正约数1和m, 又（1）（m）=m所求的两个整数是1和m或者1和m.例3已知三个质数a,b,c它们的积等于30，求适合条件的a,b,c的值。解：分解质因数：30235适合条件的值共有
11、： ， 应注意上述六组值的书写排列顺序，本题如果改为4个质数a,b,c,d它们的积等于210,即abcd=2357，那么适合条件的a，b，c，d值共有24组，试把它写出来。例4试写出4个连续正整数，使它们个个都是合数。解：（本题答案不是唯一的）设N是不大于5的所有质数的积，即N235那么N2，N3，N4，N5就是适合条件的四个合数即32，33，34，35就是所求的一组数。本题可推广到n 个。令N等于不大于n+1的所有质数的积，那么N2，N3，N4，N（n+1）就是所求的合数。练习三1、小于100的质数共_个，它们是_2、已知质数P与奇数Q的和是11，则P_，Q_3、已知两个素数的差是41，那么
12、它们分别是_4、如果两个自然数的积等于19，那么这两个数是_；如果两个整数的积等于73，那么它们是_；如果两个质数的积等于15，则它们是_。5、两个质数x和y，已知xy=91,那么x=_,y=_,或x=_,y=_.6、三个质数a,b,c它们的积等于1990，那么7、能整除311513的最小质数是_8、已知两个质数A和B适合等式AB99，ABM，求M及的值。9、试写出6个连续正整数，使它们个个都是合数。10、具备什么条件的最简正分数可化为有限小数？11、求适合下列三个条件的最小整数：大于1没有小于10的质因数不是质数12、某质数加上6或减去6都仍是质数，且这三个质数均在30到50之间，那么这个质数是_13、一个质数加上10或减去14都仍是质数，这个质数是_。第四讲 零的特性一、内容提要（一）零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数。零是自然数，是整数，是偶数。1、零是表示具有相反意义的量的基准数。例如：海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高收支平衡可记作结存0元。2、零是判定正、负数的界限。若a 0则a是正数，反过来也成立，若a是正数，则 a0记作a0 a是正数读作a0等价于a是正数b0 b 是负数c0 c是非负数（即c不是负数，而是正数或0）d0 d是非正数 (即d不是正数，而是负数或0)e0 e不是0（即e不是0
