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1、参数样条曲线工程上常用列表点来表示曲线或曲面。 当所给点较少时，由其所构成的曲线 或曲面不够光滑。这就需要在给定点之间用曲线拟合，并使各段曲线光滑连接。在R,之间建立曲线，保证(1 )曲线在给定点处连续；(2)曲线在给定点处切线联系；(3)曲线曲率连续。则曲线光滑连接。一、三次参数样条曲线1.1三次参数样条曲线方程如果已知两端点的坐标Pi，P2及其切矢P/，P2，则可以找到一条满足上 述条件的三次参数样条曲线2-30J-23001-210i T Ri：-100| P2p1二 TBc Pc式中，t表示曲线始点与曲线段上任意点之间的弦长，并且t 0,1。将上式展开后可得代数式为r(t)= (2t3
2、-3t 2+1)R+(-2t 即3t 沖(t -2t +)P；+(t -t3)P 笃 =Bc1(t) P1+BC 2t) P 左 Bc P +Bc (t) P232Bd(t)=2t -3t +1Bc2(t)二-2t3 +3t2Bc3(t)二 t3 -2t2 +t32Bc4(t)=t -t式中，Bci (t) ( i=1,2,3,4)称为三次参数样条曲线的基函数。将上式对参数t求一阶导数，可得2 2 2 2 r (t) = (6t -6t) R(-6t6t) P2 (3t -4t 1)P1 +(3t -2t) P2将t =0，t =1分别代入曲线r(t)和曲线切矢r (t)的代数式，可得r(0)
3、 = P1r (1 P2r (0 P r (1 P2可以看出，三次参数样条曲线通过首、末两个端点， 且曲线在两端点处的切矢分别为给定的切矢。三次 参数样条曲线的形状由两端点的坐标及其切矢决 定。如图所示，当曲线的两端点相同，切矢的方向(单位切矢)也相同时，切矢的长度(模)决定曲线的“丰满”程度；如果曲线的两端点相同，切矢的长度(模)也相同，但切矢 的方向不同时，曲线形状差别很大。1.2两段三次参数样条曲线光滑连续条件假设有通过P，P2和P2，P3的两段曲线ri，D，要使两段曲线在P2点处光滑连续，需要满足吐1) = 12(0)二 r2 (0)对r(t)表达式求一阶和二阶导数，可得；r(t) =
4、 (6t2 6t) P +(6t2 +6t) P2 +(3t2 4t +1)R+(3t2 2t) P；r ”(t) = (12t 6) R + (-12t + 6) P/ + (6t - 4) R+(6t - 2) p将t= 0和t = 1代入上式，并注意曲线rt)的端点为P，P2，曲线r2(t)的端点为P,，Pj于是打(1) = rjt=1) = P2E (0) = r2(t 二 0) = P2r(1) = iV(t=1)=6R -6P22R+4P2F(0) = r/(t = 0) = -6 P2 +6P3-4 P/-2 P；上式中rj(1) = r2(0)自然满足。令r(1)=叩(0)，可
5、得RF+4P2+ P 3(P； - R)写成矩阵形式将上式推广到n+1个点，即n端曲线，则有可以看出，上式只有 方程，需要补充两个端点条件。3.端点条件却有n个型值点的切线矢量未知，要求解上述1410INIII0P2P3 - R 101410川0IHR- P2III川IIIHIIIIIIIHIIH=3HI0III01410IHPnd - Pn0IIIIII0141 一(n刈PnliPn - R_2 -1pnn ：3这样，只要给定n个节点p， P2， P3Pn的坐标，利用上述端点条件求出 各点的切矢，从而可以得到连续的三次参数样条曲线。4.三次参数样条曲线特点以弦长为参数的三次参数样条曲线可以通
6、过所有型值点，插值效果好，计算可靠，应用广泛。缺点：缺乏局部性；且需要补充端点条件。、双三次参数曲面（孔斯曲面（COONS）由四个角点所构成的曲面片可看作是两个参数的参数曲面，当取表达式P(u,w) = UBc QB【W tU = u3 u2 u 1 I 0 兰 u 兰1A式中,3 2W=w w w 1 OwlP00 P01PioP11Q =审00cPo1cu即10甲1-况cuEPooCPO11dwdwP10甲1dwdwc Poo总Po1du dwccw弍P1oC P11旬dwccw _Bezier曲线与曲面2.1 Bezier (贝赛尔)曲线法国雷诺汽车公司的车身设计师Bezier提出了这种
7、曲线。方程的代数形式为33223r(t)八 Bi(t)R =(1t) Po 3t(1-t) Pi 3t (1-t)P2+t P7式中，tw0,1，Bi(t) (i=0, 1,2,3)称为 Bezier 曲线的基函数，R，p，P2，P3 为四个已知节点。Bezier曲线的矩阵形式为3r(tH t3 t2 t-3-63-33000P1P2=TB be &e从上式可以看出，Bezier曲线通过首末两端点，即r(0) = R), r(1)= P3。对式求导，可得曲线的切矢为r (t)=3(1t)2 P0 3(1t)26t(1t) P 6t(1t)3t2 P2+3PP3曲线过两端点的切矢分别为r (0)
8、 =3(R- P0)r (1) = 3(P3 - P2)Bezier曲线起点切矢沿 RP方向，末点切矢沿巳匕方向，且模长为两线段的3倍。如图所示，Bezier曲线可看作是三次参数样条曲线的一个特例，它位于各型值点构成的凸多 边形内。2.2 Bezier曲线段连续条件要想用三次Bezier曲线段表示由多个型值点确定的曲线光滑连接需要满足一定条件，如图所示，若要使R，P2，P3，P4构成的曲线i1(t)和P4，P5，F6，R构成的曲线E(t)在点P4处光滑连接，则要求第一段曲线终点切矢方向与第二段曲线的切矢方向一致，曲线rjt)在终点P4处的切矢方向为，曲线D(t)在起点P4处的切矢方向为P4F5
9、，即P3P4和P4P5共线，即P3P4 = kP4R2.3 Bezier曲线的特点(1) 凸包性 Bezier曲线位于各型值点构成的凸多边形内。(2) 端点特性Bezier曲线通过给定4个型值点的首末两个端点。(3) 局部性改变少数型值点可改变曲线局部形状。缺点：为了曲线段的光滑，需要F3P4和P4P5共线。解决方法：在节点P3，P4连线上插入节点P34，R，R连线上插入节点P562.4 Bezier 曲面B-样条曲线与曲面Bezier曲线具有直观性，凸包性等特点，为避免实现曲线光滑要求连接点与 两侧的型值点必须共线 的苛刻条件，对Bezier曲线进行改进，用新的基函数代 替Bezier曲线的
10、基函数，形成B-样条曲线。2.4.1 B-样条曲线B-样条曲线的代数式为1321321321 3r(t)(-t3 3t-3t 1)P1-(3t-6t24)P2(-3t33t2 3t 1)P3-t3P46666基函数为1 32t3+3t2 3t+1)132B2(t) = (3t -6t +4) 6B3(t)=丄(一3t3+3t2 +3t+1)1 3 B4(t)花 tL.6三次B-样条曲线的方程3r(t)八 Bi(t)Pii=0三次B-样条曲线矩阵形式为3_33七04-3331P2P3-TB bsPbs三次B-样条曲线端点性质:对式求导，可得1 2 1 2 1 1 2r (t) = (-3t2t
11、-1)R (3t -4t)P2(-3t 2t 1)P3t P42 2 2 2于是有1 1 2r(0)=匸(R+4P2+ P3)= ：( R+ P3)/2p-P2633112r (1)= (P-+4 P3 + P4)=( P-+ R)/2+ P36331r斫那P3 - P)1r弓P4 -P)由图和公式可以看出：(1)曲线始点位于P , P2 , F3构成的三角形中线P2 P；上距P2点1/3处，终点位于P2，E，P4构成的三角形中线P3 上距P3点1/3处；1 1P+J P3 - R)=?( P1 + P3)* 2 * * 2 /* 1*2r(0) = P,P2P2 - P2 -(P2 - P2
12、) BP23 3331(R P3)P263(2)曲线始点切矢平行于三角形 RP2巳底边P巳且长度为其1/2,终点切矢平行于三角形P P3P4底边P2 P4且长度为其1/2。2.4.2 B-样条曲线的连续性根据B-样条曲线的方程，可以证明其连续条件，即几二r 1(0)几二(0)ri二 11(0)恒成立。该性质从图上也很容易看出，所以B-样条曲线是光滑连续的。2.4.3 B-样条曲线通过首末两端点的条件(1) 三重节点法(2) 三定点共线法2.4.4反算控制法下面以P(i =1,2n)表示已知的n个型值点，Vj(i =01,2.n,n+1)表示待求的n+2个控制多边形的顶点。由式可知1R4Vi V1)(i 7 2. n6根据递推公式，可以得到n个方程，却有n+2个未知数，需要补充两个条件。(1)给出两端点切矢量(2)自由端点条件 取V。二Vi ,V n .1二V n1) NURBS 曲线与曲面单线性参数
