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1、函数与导数在实际问题中的应用应用1函数模型在实际问题中的应用【例11 (2017 南通模拟)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为2x-48x + 8 000,已知此生广线年广量最大为 210吨.5 (1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本； 若每吨产品平均出厂价为 40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最 大利润？最大利润是多少？解(1)每吨平均成本为y(万元). xL,V x 8 000贝卜5+=”28 000 丁一 48=32,x 8 000当且仅当5= =,即x=200时取等号.
2、 年产量为200吨时，每吨平均成本最低为 32万元.(2)设年获得总利润为R(x)万元.2x贝(J R(x) =40x y = 40x +48x 8 0002x= -+ 88x-8 0005= 1(x 220)2+1 680(0 x210). 5 R(x)在0, 210上是增函数， x = 210 时，R(x)有最大值为1(210 -220)2+ 1 680 = 1 660.5 年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元.应用2导数在实际问题中的应用【例2】(2015 江苏卷)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路
3、，记两条相互垂直的公路为li, 12,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l.如图 所示，M, N为C的两个端点，测得点M到li, 12的距离分别为5 km和40 km, 点N到11, 12的距离分别为20 km和2.5 km ,以11, 12所在的直线分别为x, ya .，一轴，建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y = xb(其中a, b为常数)模型.(1)求a, b的值；设公路1与曲线C相切于点P,点P的横坐标为t.请写出公路1长度的函数解析式f (t),并写出其定义域； 当t为何值时，公路1的长度最短？求出最短长度.解(1)由题意知，点 M N的坐标分别为(5, 40), (20
4、, 2.5).a aa25+ b = 40，将其分别代入y=xap得 a400+ b = 2.5 解得,Z= 1 000、b= 0.(2)由(1)知，y=1000(5WxW20),则点P的坐标为t1 000t2设在点P处的切线交x, y轴分别于点A, B,y=2 0003-，x ，则直线l的方程为y 竿-=莘x t),3 000故 f (t)t C5 ,20.16X 106 t设g(t)2 4X106 e ,=t + f4，则 g (t) = 2t 令 g (t) =0,解得 t = lg.当 te(5, 10v2)时，g (t)0, g(t)单调递增.所以当t=1042时，函数g(t)有极小
5、值，也是最小值，g(t)min=300,此时f(t)min= 15 3.答：当t = 102时，公路l的长度最短，最短长度为1漆km.探究提高 1.与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题.解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关 知识加以综合解答.2.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出 实际问题中变量之间的函数关系式 y = f (x). 求导：求函数的导数f (x),解方程f (x) = 0.(3)求最值：比
6、较函数在区间端点和使 f (x) = 0的点的函数值的大小，最大 (小)者为最大(小)值.结论：回归实际问题作答.【训练1】(2012 江苏卷)如图，建立平面直角坐标系xOy, x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨.、一1迹在万程y=kx 五(1+k)x (k0)表小的曲线上，其中k与发射万向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.田干米(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.1。解令 y=0,得 kx 20(1+k2)x2= 0,由实际
7、意义和题设条件知x0, k0,故 x=1T噂 10, k+k当且仅当k=1时取等号.所以炮的最大射程为10千米. 因为a0,所以炮弹可击中目标？存在k0,一1使3.2 =ka 20(1 + k)a成立？关于k的万程a k -20ak+a +64=0有正根？判别式 A=(20a)2 4a2(a2 + 64)0? a6.所以当a不超过6千米时，可击中目标.【训练2】一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为 1万元，每生产1 万件需要再投入2万元，设该公司一个月生产该小型产品 x万件并全部销售,一一 2eln x 1、元，每万件的销售收入为(4x)万兀，且每万件国豕给予补助2e- -xx万元(e为
8、自然对数的底数，e是一个常数).(1)写出月利润f (x)(万元)关于月产量x(万件)的函数解析式.(2)当月产量在1 , 2e万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值(万元)及此时的月生产量值(万件)(注：月利润=月销售收入十月国 家补助一月总成本).解(1)由月利润=月销售收入十月国家补助一月总成本,/口22eln x 1、可得 f (x)=x4 x + 2e-2 i-1 0). f (x) = x2+2(e+1)x 2eln x 2 的定义域为1 , 2e,厂2e且 f (x) = 2x + 2(e + 1) x2 (x 1) (x-e)x(1 x2e).令 f (x)=0,解得 乂=1或乂 = 6.当x变化时，f (x) , f (x)的变化情况列表如下:x(1 , e)e(e, 2ef，(x)十0一f (x)增极大值f (e)减由上表得：f (x) = x2+2(e + 1)x2eln x 2在定义域1, 2e上的最大值为 f (e),且 f (e) =e22.因此月生产量在1 , 2e万件时，该公司在生产这种小型产品中所获得的月利 润最大值为f (e) =e22,此时的月生产量值为e(万件).
