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1、学科方法参数法 参数观点是运动、变化思想在数学中的重要体现参数是解析几何中最活跃的元素，也是解题的一种主要方法解析几何中的许多解题技巧都来源于参数观点(一)参数法解题的基本步骤参数法解题的步骤是：(1)设参，即选择适当的参数(参数的个数可取一个或多个)；(2)用参，即建立参数方程或含参数的方程；(3)消参，即通过运算消去参数，使问题得到解决例1 已知抛物线y2=2px(p0)，在x轴的正半轴上求一点M，使过M的弦P1P2，满足OP1OP2【解】 如图25，设M(m，0)(m0)、P1(x1，y1)、P2(x2，y2) OP1OP2，即y1y2=-x1x2 (y1y2)24p2x1x2从而(-x
2、1x2)2=4p2x1x2 x10，x20， x1x2=4p2 设直线P1P2的方程为y=k(x-m)，把它代入y2=2px中，整理，得k2x2-2(k2m+p)x+k2m2=0由韦达定理，得x1x2=m2 把代入中，得m2=(2p)2 m0，p0，m=2p于是所求的点M的坐标为(2p，0)【解说】 本例选点P1、P2的坐标为参数，利用已知条件建立x1，x2，y1，y2，m，p的关系式，消去参数，求得m的值OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|OP|=|OR|2当点P在l上移动时，求动点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线(1995年全国高考理科压轴题)【解】 如图26，设动点Q(x，y
3、)(x，y不同时为零)又设|OR|=|OQ|，|OP|=u|OQ|，(，u0)，由于Q、R、P三点共线，所以点R(x，y)、点P(ux，uy) |OQ|OP|=|OR|2， u|OQ|2=2|OQ|2又|OQ|0，同理，由P在l上，可得于是由、，可得动点Q的轨迹方程为且长轴平行于x轴的椭圆，去掉坐标原点利用已知条件|OQ|OP|=|OR|2巧妙地消去参数，这里参数是一个过渡，起桥梁作用这种解法比高考命题者提供的答案简明(二)解题技巧的一个源泉参数观点是产生解题技巧的一个源泉，解析几何的许多解题技巧都起源于参数其中“设而不求”和“代点法”就是最突出的两个1设而不求例3 如图27，过圆外一点P(a
4、，b)作圆x2y2=R2的两条切线，切点为A、B，求直线AB的方程【解】 设A、B的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，则切线AP、BP的方程分别为x1x+y1yR2，x2x+y2yR2 这两条切线都过点P(a，b)， ax1by1=R2，ax2by2=R2由以上二式可以看出，点A、B在直线axby=R2上，又过A、B只有一条直线， 直线AB的方程为axby=R2【解说】 本例中把A、B的坐标作为参数虽然设了A、B的坐标，但并没有去求它的值，而是利用曲线与方程的概念，巧妙地“消去”参数，这就是所谓的“设而不求”2代点法例4 求抛物线y2=12x的以M(1，2)为中点的弦所在直线的方程【解
5、法1】 设弦的两个端点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则由中点坐标公式，得y1y24 即(y1y2)(y1-y2)=12(x1-x2) 即直线AB的斜率k=3故直线AB的方程为y-2=3(x-1)即 3x-y-1=0【解法2】 弦的中点为M(1，2)， 可设弦的两个端点为A(x，y)、B(2-x，4-y) A、B在抛物线上， y2=12x，(4-y)2=12(2-x)以上两式相减，得y2-(4-y)2=12(x-2+x)，即 3x-y-1=0，这就是直线AB的方程【解说】 以上两种解法都叫做代点法它是先设曲线上有关点的坐标，然后代入曲线方程，最后经适当变换而得到所求的结果 习题22 用参
6、数法解证下列各题：1已知椭圆9x216y2=144内有一点P(2，1)，以P为中点作弦MN，则直线MN的方程为 A9x-8y260B9x8y-260C8x-9y+26=0D8x9y-26=02点D(5，0)是圆x2y2-8x-2y+7=0内一点，过D作两条互相垂直的射线，交圆于A、B两点，求弦AB中点M的轨迹方程且OPOQ，求m的值4已知射线OA、OB分别在第一、四象限，且都与Ox轴成60的轨迹5已知两点P(-2，2)、Q(0，2)以及一条直线l：y=x设长为程(要求把结果写成普通方程)(1985年全国高考理科试题)6已知椭圆的中心在原点，对称轴合于坐标轴，直线y=-x1与 习题22答案或提示
7、 1仿例4，选(B)2设M(x，y)，A(xx0，yy0)，B(x-x0，y-y0)，把A、B=03仿例1，可得m=35设A(t，t)，B(t1，t1)，又设直线PA、PB的斜率分别x2-y22x-2y8=06设椭圆的方程为ax2by2=1(a0，b0)，A、B、C的坐学科方法待定系数法 (一)求直线和曲线的方程例1 过直线x-2y-3=0与直线2x-3y-2=0的交点，使它与两坐标轴相交所成的三角形的面积为5，求此直线的方程【解】 设所求的直线方程为(x-2y-3)+(2x-3y-2)=0，整理，得依题意，列方程得于是所求的直线方程为 8x-5y20=0或2x-5y-10=0【解说】 (1)
8、本解法用到过两直线交点的直线系方程，是待定系数(2)待定系数法是求直线、圆和圆锥曲线方程的一种基本方法例2 如图29，直线l1和l2相交于点M，l1l2，点Nl1，以A、B为端点的曲线C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等若系，求曲线C的方程(1998年全国高考理科试题)【解】 如图29，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系由已知，得曲线C是以点N为焦点、l2为准线的抛物线的一段，其中点A、B为曲线C的端点设曲线C的方程为y2=2px，p0(x1xx2，y0)其中，x1、x2分别是A、B的横坐标，p=|MN|从而M、N解之，得p=4，x1=1故曲线C的方程为y2=8x (1
9、x4，y0)(二)探讨二元二次方程(或高次方程)表示的直线的性质例3 已知方程ax2bxycy2=0表示两条不重合的直线L1、L2求：(1)直线L1与L2交角的两条角平分线方程；(2)直线L1与L2的夹角的大小【解】 设L1、L2的方程分别为mxny=0、qxpy=0，则ax2+bxycy2(mx+ny)(qx+py)从而由待定系数法，得amq，bmpnq，c=np(1)由点到直线的距离公式，得所求的角平分线方程为即(m2n2)(qxpy)2=(q2+p2)(mxny)2，化简、整理，得(nq-mp)(nqmp)x22(np-mq)xy-(nqmp)y2=0 L1、L2是两条不重合的直线b2-
10、4ac(mp+nq)2-4mnpq=(mpnq)20即 mp-nq0从而(nqmp)x22(np-mq)xy-(nq+mp)y2=0把 mq=a，mp+nq=b，np=c代入上式，得 bx2+2(c-a)xy-by20即为所求的两条角平分线方程(2)显然当mqnp=0，即a+c=0时，直线L1与L2垂直，即夹角为90当mqnp0即ac0时，设L1与L2的夹角为，则【解说】 一般地说，研究二元二次(或高次)方程表示的直线的性质，用待定系数法较为简便(三)探讨二次曲线的性质1证明曲线系过定点例4 求证：不论参数t取什么实数值，曲线系(4t2t1)x2+(t1)y24t(t1)y-(109t221t
11、+31)=0都过两个定点，并求这两个定点的坐标【证明】 把原方程整理成参数t的方程，得(4x24y-109)t2+(x2+y2+4y-21)t+x2y2-31=0 t是任意实数上式都成立，【解说】 由本例可总结出，证明含有一个参数t的曲线系F(x，y，t)=0过定点的步骤是：(1)把F(x，y，t)=0整理成t的方程；(2)因t是任意实数，所以t的各项系数(包括常数项)都等于零，得x、y的方程组；(3)解这个方程组，即得定点坐标2求圆系的公切线或公切圆例5 求圆系x2y2-2(2m1)x-2my4m24m1=0(m0)的公切线方程【解】 将圆系方程整理为x-(2m+1)2(y-m)2=m2(m
12、0)显然，平行于y轴的直线都不是圆系的公切线设它的公切线方程为 y=kxb，则由圆心(2m1，m)到切线的距离等于半径|m|，得从而(1-2k)m-(kb)2m2(1k2)，整理成m的方程，得(3k2-4k)m2-2(1-2k)(k+b)m+(k+b)2=0 m取零以外的任意实数上式都成立，【解说】 由本例可总结出求圆系F(x，y，m)=0的公切线方程的步骤是：(1)把圆系方程化为标准方程，求出圆心和半径；(2)当公切线的斜率存在时，设其方程为y=kxb，利用圆心到切线的距离等于半径，求出k、b、m的关系式f(k，b，m)=0；(3)把f(k，b，m)=0整理成参数m的方程G(m)=0由于mR，从而可得m的各项系数(包括常数项)都等于零，得k、b的方程组；(4)解这个方程组，求出k、b的值；(5)用同样的方法，可求出x=a型的公切线方程3化简二元二次方程例6 求曲线9x24y218x-16y-11=0的焦点和准线【分析】 把平移公式x=xh，y=yk，代入原方程化简 习题23用待定系数法解证下列各题：1求经过三点(2，3)、(5，3)、(3，-1)的圆的方程2求双
