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1、一【考点梳理】实数及其运算1.实数的两种分类实有理数数1无理数实正实数 数4零有限小数或无限循环小数整数（包括正整数，负整数，零）;分数（包括正分数，负分数）:正无理数无限不循环小数 负无理数 正有理数J正整数正分数正无理数负实数，负有理数负整数S1负分数j负无理数注意：兀是无理数，但有时近似地用3.14这个有理数来代替，匕,:等是无理数，而不是分数.2. 实数中的几个概念（1）正数、负数像5,1.5,10 1等大于0得数叫做正数. 2像-5, -1.5, -10 1等在正数前面加上“-”号的数叫做负数. 2（2）整数、分数正整数、零、负整数统称为整数.正分数、负分数统称为分数.（3）有理数整
2、数和分数统称为有理数，有理数可划分为：正有理数、负有理数、零.（4）数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.性质：实数与数轴上的点是一一对应的，数轴上的点表示的数右边的总比左边的大.正数都大于零；负数都 小于零；两个负数绝对值大的反而小.（5）相反数定义：只有符号不同的两个数，叫做互为相反数.互为相反数的几何意义：在数轴上位于原点两侧，且与原点距离相等的两个点.性质：非零实数0的相反数是-0，0的相反数是0，相反数总是成对出现的.（6）绝对值定义：数轴商表示0的点与远点的距离叫做数0的绝对值，记做a运算：非负数的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数.即 01=0（ 0 0 ），
3、L 一 0（ 0 0 ） .注意：去绝对值符号时关键是判断绝对值符号中代数式的正负，如果是非负数，应等于其本身；如果是负 数，则应是它的相反数.（7）无理数定义：无限不循环的小数叫做无理数.常见的无理数形式：，字母型：如兀；构造型：如 2.10100100010000；根式型：如J2T35；j三角函数型：如 sin 35。，tan 27。.（8）近似数、有效数字与科学记数法近似数：一个与实际数比较接近的数，称为近似数.有效数字：对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字开始，到最末一位数字为止，都是这个近似数的 有效数字.科学记数法：把一个数记作a x 10 n的形式（其中1 H 0，则称a为非
4、负数.常见的非负数：a , a2, J7 .性质：任何非负数的和仍为非负数；如果几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0 .（10）倒数定义：乘积为1的两个实数互为倒数.倒数的求法：求一个整数的倒数，直接写成这个数分之一；I求一个分数的倒数，将分子分母颠倒即可；I求一个带分数的倒数，先化成假分数再求倒数；k求一个小数的倒数，先化成分数再求倒数.性质：只有零没有倒数，其他任何实数都有倒数，正数的倒数为正数，负数的倒数为负数.3. 常用的几个特殊整数（1）最小的自然数是0 ；最小的正整数是1；最大的负整数是-1；绝对值最小的数是0，同时0也是最小的非 负整数.（2）1既不是质数也不是合数；2是最小
5、的质数，也是唯一的偶质数.4. 有关0（1）0既不是正数也不是负数，0和正数统称为非负数，和负数统称为非正数.（2）0的相反数为0，绝对值也为0，没有倒数.5. 实数的运算（1）加法同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.满足的运算律：交换律，结合律.（2）减法减去一个数等于加上这个数的相反数.（3）乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相乘；几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数为偶数个时积为正，当负因数为奇数个时积 为负；几个数相乘，有一个因数为0，积为0满足的运算律：交换律，结合
6、律，分配律.（4 ）除法两数相除，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0 .（5）乘方与开方乘方与开方互为逆运算.（6）实数的运算顺序有括号先算括号里面的，然后按照先乘方开方、再乘除、最后加减的顺序计算.6. 比较实数的大小（1）一般方法性质比较法：正数大于0，负数小于0，正数大于任何负数.绝对值比较法：两个负数绝对值大的反而小.1数轴比较法：将实数用点表示在数轴上，右边的数大于左边的,差值比较法：将实数作差，值大于0被减数大，值小于0减数大.（2）特殊方法 平方法：如比较&32的大小.倒数法：两个正数倒数大的反而小.中间值法：7. 平方根与立方根区别在用
7、根号表示平方根时，根指数可以省略，在用根号表示立方根时，根指数不能省略;平方根只有非负数才有，而立方根全体实数都有；、正数的平方根有两个且互为相反数，正数的立方根是一个且是正数.联系都与相应的乘方互为逆运算；I 0的平方根和立方根均为0 .8. 实数的新运算先给出实数新运算的定义及运算法则，然后付之应用.解这类问题的关键是把新运算转换成六种基本运算.9. 实数运算中的规律探究规律探究性问题是根据问题的条件或问题提供的若干特例，通过观察、类比、归纳，揭示和发现题目中蕴含的 基本规律与特征的一类探索性问题.其解题思路是：由特例观察、归纳T猜想、揭示一般规律T实验或证明猜 想.二【典例精析】1、下列
8、判断正确的是（ ）A.所有的整数都是分数C.分数一定是有理数B.正整数、负整数统称为整数D.有理数包括小数和整数2、某市广播电视局欲招聘播音员一名，对A、B两名候选人进行了两项素质测试，两个人的两项测试成绩如下表所示.根据实际需要，广播电视局将面试、综合知识测试的得分按3： 2的比例计算两人的总成绩，那么将被录用.测试项目测试成绩AB面试9095综合知识测试85803、 如果a的倒数是-1，那么a 200等于（）A. 1 B. -1 C. 2009 D. -20094、据河北电视台报道，截止2008年5月21日，河北慈善总会已接受支援汶川地震灾区的捐款15510000元，将其用科学记数法表示为
9、（A. 0.1551 x 10 8B. 1551 x 104C. 1.551 x 10 7D. 15.51 x 1065、若 X - 3 +*x 一 y + 1 = 0，计算 x2y + xy 2 + -.6、 如图，在数轴上点A和点B之间表示整数的点有个.7、“数轴上的点并不都表示有理数，如图，数轴上的点P所表示的数是杼”，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（）A.代入法C.数形结合法8、当 0 x 1 时，A. 1 x x2 xB.换元法D.分类讨论法x2, x,上的大小顺序是（ xB. 1 x2 xxC. x2 x 9、在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a * b = a 2
10、 - b 2，根据这个规定，方程（x + 2）*5 = 0的解为10、 求0a+ba+cbcacabacA.1个 B.2个 C.3个 D.4个5、已知*12 - n是正整数，则实数n的最大值为()A.12B.11C.8D.36、 计算- 12的结果是()A. Z-打B. %3 一 3云C. GD. y7、若 Jx - 1 - 1 - x = (x + y)2，则 x - y 的值为()A.- 1B. 1C. 2 D. 38、下列计算正确的是()A.18 (2=七 2B.如3 寸2= 1 C.如3+ 2 =如5D.2 V3 = 769、估算2的值（A.在1到2之间B.在2至U 3之间C.在3到4
11、之间D.在4到5之间10、实数2 , 0.3 ,-兀中，无理数的个数是（A. 27B. 3C. 4D. 511、计算L/T-/T的结果是（）3A. 1B. -112、已知实数在数轴上的位置如图所示,则化简11- 1+72的结果为（A. 1B. -1C. l-2aD. 2a-1-1 0 113、9的平方根是（）A.B. -3C. +3D. 13、已知G为实数，那么A.14、a B, a C. - 1D.下列运算中，正确的是（Aw9 = 3 B(a2 )3 = a6C 3a -la6a D15、计算：（1 ）(石-2)。+-i+ 4 cos 30-l-A7l.(2)(V7-1)-2 + 8 - 6sin 45 + (-1)2009(3)y/9 -(71 - 2009) + I -2 I +2 sin 30 (4)(5)2 sin 60 - 3 tan 30 + ( 1)2009 .(6)(7)4 + 2(n - 2009) o _ 4 sin 45。+ ( 1)3(8)志2 I +2009。-1+ 3 tan 30 + & sin3O +(7i + 3).1 V1七丘+(石)+ 4sin 60(tan 60 )-! x3 1I 1+23x0.1254 2(10) 3/12 - 2-2V3
