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1、专题25 含参“一元二次不等式”的解法【高考地位】解含参一元二次不等式，常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解，这是解含参一元二次不等式问题的一个难点. 在高考中各种题型多以选择题、填空题等出现，其试题难度属中高档题.【方法点评】类型一 根据二次项系数的符号分类使用情景：参数在一元二次不等式的最高次项解题模板：第一步 直接讨论参数大于0、小于0或者等于0；第二步 分别求出其对应的不等式的解集；第三步 得出结论.例1 已知关于的不等式.（1）若不等式的解集为，求的值（2）求不等式的解集【答案】（1）（2）当时，或当时，当时，当时， 当时，原不等式解集为当时，当时，当时，综上所述，原不等式解集为当
2、时，或；当时，当时，；当时，；当时，原不等式解集为.考点：一元二次不等式的解法.【点评】（1）本题考察的是一元二次不等式和一元二次方程的关系，由题目所给条件知的两根为，且，根据根与系数的关系，即可求出的值（2）本题考察的是解含参一元二次不等式，根据题目所给条件和因式分解化为，然后通过对参数进行分类讨论，即可求出不等式的解集【变式演练1】解关于的不等式：.【答案】当时，原不等式的集为，当时，原不等式的集为，当时，原不等式的集为或，当时，原不等式的集为.综上，当时，原不等式的集为，当时，原不等式的集为，当时，原不等式的集为或，当时，原不等式的集为.考点：不等式的解法. 【变式演练2】已知：和是方程
3、的两个实根，不等式对任意实数恒成立；：不等式有解，若为真，为假，求的取值范围【答案】，不等式有解时，假时的范围为，由可得的取值范围为考点：命题真假性的应用【变式演练3】关于的不等式，（1）已知不等式的解集为，求a的值；（2）解关于的不等式【答案】（1）1 （2），【解析】试题分析：（1）求解时主要利用一元二次不等式的解集的边界值为与不等式对应的方程的根，结合根与系数的关系得到值；（2）解带参数的不等式时要对参数分情况讨论，本题中首先要讨论最高次项系数是否为零的问题，其次要讨论二次不等式对应的函数图像开口方向及与x轴交点坐标的大小问题。考点：1一元二次不等式的解法；2分情况讨论的解题思想.类型二
4、 根据二次不等式所对应方程的根的大小分类使用情景：一元二次不等式可因式分解类型解题模板：第一步 将所给的一元二次不等式进行因式分解；第二步 比较两根的大小关系并根据其大小进行分类讨论；第三步 得出结论.例2 解关于的不等式：.【答案】详见解析.考点：解含参的一元二次不等式【点评】解含参的一元二次不等式，第一步先讨论二次项前的系数，此题为，所以先不讨论，第一步，先将式子分解因式，整理为，第二步，讨论两根的大小关系，从而写出解集的形式【变式演练4】解关于的不等式（为常数且）.【答案】时不等式的解集为； 时不等式的解集为；时不等式的解集为；时不等式的解集为.若，不等式的解集为【解析】试题分析：,先讨
5、论时不等式的解集；当时，讨论与的大小，即分，分别写出不等式的解集即可.试题解析：原不等式可化为（1）时，不等式的解集为；（2）时，若，不等式的解集为；若，不等式的解集为；若，不等式的解集为；考点：1.一元二次不等式的解法；2.含参不等式的解法.【变式演练5】已知，解关于x的不等式【答案】当时，；当时，；当时，考点：一元二次不等式【变式演练6】已知二次函数，关于实数的不等式的解集为（1）当时，解关于的不等式：；（2）是否存在实数，使得关于的函数（）的最小值为？若存在，求实数的值；若不存在，说明理由【答案】（1）当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为（2） 时，原不等式化为，且，解得或；当
6、时，原不等式化为，解得且；当时，原不等式化为，且，解得或；综上所述：当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为考点：二次不等式解集与二次方程根的关系，二次函数最值.类型三 根据判别式的符号分类使用情景：一般一元二次不等式类型解题模板：第一步 首先求出不等式所对应方程的判别式；第二步 讨论判别式大于0、小于0或等于0所对应的不等式的解集；第三步 得出结论.例3 设集合A=x|x23k22k(2x1)，B=x|x2(2x1)kk20，且AB，试求k的取值范围【答案】【解析】解：，比较因为(1)当k1时，3k1k1，A=x|x3k1或x.(2)当k=1时，x.(3)当k1时，3k1k1，A=.B
7、中的不等式不能分解因式，故考虑判断式，(1)当k=0时，.(2)当k0时，0，x.(3)当k0时，.故：当时，由B=R，显然有A，当k0时，为使A，需要k，于是k时，.综上所述，k的取值范围是：【点评】解含参的一元二次不等式，可先分解因式，再讨论求解，若不易分解，也可对进行分类，或利用二次函数图像求解.对于二次项系数不含参数且不能因式分解时，则需对判别式的符号分类.【变式演练7】在区间上,不等式有解，则的取值范围为（ ）A B C D【答案】C考点：一元二次不等式定区间定轴问题.【变式演练8】设不等式的解集为，如果，求实数的取值范围【答案】.当时，；当时，；当时，或，设方程的两根为，且，那么
8、，即解得综上所述，时，的取值范围是考点：1、一元二次不等式的解法；2、一元二次方程根的分布及子集的应用.【高考再现】1.【2015高考江苏，7】不等式的解集为_.【答案】【解析】由题意得：，解集为【考点定位】解指数不等式与一元二次不等式【名师点晴】指数不等式按指数与1的大小判断其单调性，决定其不等号是否变号；对于一元二次方程的解集，先研究，按照， 三种情况分别处理，具体可结合二次函数图像直观写出解集.2.【2015高考上海，理17】记方程：，方程：，方程：，其中，是正实数当，成等比数列时，下列选项中，能推出方程无实根的是（ ）A方程有实根，且有实根 B方程有实根，且无实根C方程无实根，且有实根
9、 D方程无实根，且无实根【答案】B 3.【2015高考广东，文11】不等式的解集为 （用区间表示）【答案】【解析】由得：，所以不等式的解集为，所以答案应填：【考点定位】一元二次不等式【名师点晴】本题主要考查的是一元二次不等式，属于容易题解题时要注意的系数是否为正数，如果的系数是负数，一定要化为正数，否则很容易出现错误4.【2015高考上海，文16】 下列不等式中，与不等式解集相同的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B【考点定位】同解不等式的判断.【名师点睛】求解本题的关键是判断出. 本题也可以解出各个不等式，再比较解集.此法计算量较大.【反馈练习】1【安徽省蒙城县2018届高三上学期
10、“五校”联考数学（文）试题】在关于的不等式的解集中至多包含个整数，则的取值范围是 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 因为关于的不等式可化为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 要使得解集中至多包含个整数，则且，所以实数的取值范围是，故选D.点睛：本题主要考查了不等式解集中整数解的存在性问题，其中解答中涉及到一元二次不等式的求解，元素与集合的关系等知识点的综合应用，试题比较基础，属于基础题，同时着重考查了分类讨论思想的应用，解答中正确求解不等式的解集是解答的关键.2【福建省莆田第九中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学（文）试题】关于的不等式的解集为且，则
11、（ ）A. B. 3 C. D. -3【答案】A【解析】不等式即： ，结合可得，不等式的解集为： ，据此可得： ，解得： .本题选择A选项.3【安徽省淮北市第一中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学（理）试题】已知函数.（1）当时，解关于的不等式；（2）若，解关于的不等式.【答案】（1）；（2）见解析 4【安徽省阜阳市太和中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学（文）试题】已知.（1）当不等式的解集为时，求实数的值；（2）解关于的不等式.【答案】(1) 或 (2) 当时，即时，不等式的解集为；当时，即时，不等式的解集为. 5【山东省临沂市2017-2018学年高二上学期质量调
12、研（期中）数学（文）试题】设函数（1）若对于一切实数， 恒成立，求的取值范围；（2）若对于， 恒成立，求的取值范围【答案】（1）（2）【解析】（1） 要使恒成立，若，显然； 若，则，即 的取值范围为 （2）要使在上恒成立，只需 恒成立（）， 在上是减函数， 函数在上的最小值 的取值范围是 点睛：不等式的任意性问题即为不等式的恒成立问题，常用的方法有两个：一是，分离变量法，将变量和参数移到不等式的两边，转化为求新的函数据的最值问题，即可得到参数范围；二是，含参讨论法，此法是一般方法，讨论参数的范围，结合单调性处理.6【山东省临沂市2017-2018学年高二上学期质量调研（期中）数学（理）试题】设
13、函数（1）若对于， 恒成立，求实数的取值范围；（2）若对于， 恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）（2） 在区间上为增函数，即， ， 点睛：本题考查了不等式恒成立问题，常考题型，转化为函数求最值，已知哪个变量的范围就构造关于哪个量的函数，也常采用变量分离.7【广东省揭阳市第一中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学（理）试题】设函数.（1）当时，求关于的不等式的解集；（2）若在上恒成立，求的取值范围.【答案】(1)详见解析;(2) . 【点睛】本题为解含参的一元二次不等式，若二次项的系数含有参数，先对二次项系数分类讨论，特别是不能忘记二次项系数为0的情况，当二次项的系数不为0时，分二次项系数大于0，和小于0两种情况，比较两根的大小，根据不等式的要求写出不等式的解集；当二次项的系数不含参数时，讨论判别式的情况，若有根则求根，若两根大小不定时，还要讨论两根的大小，根据不同情况，画出抛物线属性结合，写出解集. 分离参数法求参数的取值范围也是常见题型，首先分离参数，注意不等号的方向，求最值，利用“极值原理”求最值，给出参数的取值范围.8【山东省潍坊市第七中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学试题】已知函数.(1)若对任意实数， 恒成立，求实数的取值范围；
