排列组合介绍及例题

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1、排列组合排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个 数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素,不考虑排序。 排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。排列组合与古典概 率论关系密切。1历史及发展虽然数数始于以结计数的远古时代，由于那时人的智力的发展尚处于低级阶段，谈不 上有什么技巧。随着人们对于数的了解和研究，在形成与数密切相关的数学分支的过程中， 如数论、代数、函数论以至泛函的形成与发展，逐步地从数的多样性发现数数的多样性，产 生了各种数数的技巧。同时，在人们对于形有了深入的了解和研究的基础上，在形成与形密切相

2、关的各种数 学分支的过程中，如几何学、拓扑学以至范畴论的形成与发展，逐步地从形的多样性也发现 了数形的多样性，产生了各种数形的技巧。近代的集合论、数理逻辑等反映了潜在的数与形 之间的结合。而现代的代数拓扑和代数几何等则将数与形密切地联系在一起了。这些，对于 以数的技巧为中心课题的近代组合学的形成与发展都产生了而且还将会继续产生深刻的影 响。由此观之，组合学与其他数学分支有着必然的密切联系。它的一些研究内容与方法来 自各个分支也应用于各个分支。当然，组合学与其他数学分支一样也有其独特的研究问题与 方法，它源于人们对于客观世界中存在的数与形及其关系的发现和认识。例如，中国古代的 易经中用十个天干和

3、十二个地支以六十为周期来记载月和年，以及在洛书河图中关于幻 方的记载，是人们至今所了解的最早发现的组合问题。于11和12世纪间，贾宪就发现了二项式系数，杨辉将它整理记载在他的续古抉奇 法一书中。这就是中国通常称的杨辉三角。事实上，于12世纪印度的婆什迦罗第二也发 现了这种组合数。13世纪波斯的哲学家曾讲授过此类三角。而在西方，布莱兹帕斯卡发现 这个三角形是在17世纪中期。这个三角形在其他数学分支的应用也是屡见不鲜的。同时， 帕斯卡和费马均发现了许多与概率论有关的经典组合学的结果。因此，西方人认为组合学开 始于17世纪。组合学一词是德国数学家莱布尼茨在数学的意义下首次应用。也许，在那时 他已经预

4、感到了其将来的蓬勃发展。然而只有到了 18世纪欧拉所处时代，组合学才可以说 开始了作为一门科学的发展，因为那时，他解决了柯尼斯堡七桥问题问题，发现了多面体（首 先是凸多面体，即平面图的情形）的顶点数、边数和面数之间的简单关系。现在已被人们称 为欧拉公式。甚至，当今人们所称的哈密顿圈的首创者也应该是欧拉。这些不但使欧拉成为 组合学的一个重要组成部分一图论而且也成为占据现代数学舞台中心的拓扑学发展的先 驱。同时，他对导致当今组合学中的另一个重要组成部分一组合设计中的拉丁方的研究所 提出的猜想，人们称为欧拉猜想，直到1959年才得到完全的解决。于19世纪初，高斯提出的组合系数，今称高斯系数,在经典组

5、合学中也占有重要地位。 同时，他还研究过平面上的闭曲线的相交问题，由此所提出的猜想称为高斯猜想，它直到 20世纪才得到解决。这个问题不仅贡献于拓扑学，而且也贡献于组合学中图论的发展。同 在19世纪，由乔治布尔发现且被当今人们称为布尔代数的分支已经成为组合学中序理论的 基石。当然，在这一时期，人们还研究其他许多组合问题，它们中的大多数是娱乐性的。20世纪初期，庞加莱联系多面体问题发展了组合学的概念与方法，导致了近代拓扑学 从组合拓扑学到代数拓扑学的发展。于20世纪的中、后期，组合学发展之迅速也许是人们 意想不到的。首先，于1920年费希尔(Fisher，R.A.)和耶茨(Yates, F.)发展

6、了实验设 计的统计理论，其结果导致后来的信息论，特别是编码理论的形成与发展于1939年，坎托 罗维奇(KaHTopoBuq,几B.)发现了线性规划问题并提出解乘数法。于1947年丹齐克(Dantzig, G.B.)给出了一般的线性规划模型和理论，他所创立的单纯形方法奠定了这一 理论的基础，阐明了其解集的组合结构。直到今天它仍然是应用得最广泛的数学方法之一。 这些又导致以网络流为代表的运筹学中的一系列问题的形成与发展。开拓了人们目前称为组 合最优化的一个组合学的新分支。在20世纪50年代，中国也发现并解决了一类称为运输 问题的线性规划的图上作业法，它与一般的网络流理论确有异曲同工之妙。在此基础上

7、又出 现了国际上通称的中国邮递员问题。另一方面，自1940年以来，生于英国的塔特(Tutte, W.T.)在解决拼方问题中取得 了一系列有关图论的结果，这些不仅开辟了现今图论发展的许多新研究领域，而且对于20 世纪30年代，惠特尼(Whitney, H.)提出的拟阵论以及人们称之为组合几何的发展都起 到了核心的推动作用。应该特别提到的是在这一时期，随着电子技术和计算机科学的发展愈 来愈显示出组合学的潜在力量。同时，也为组合学的发展提出了许多新的研究课题。例如， 以大规模和超大规模集成电路设计为中心的计算机辅助设计提出了层出不穷的问题。其中一 些问题的研究与发展正在形成一种新的几何，目前人们称之

8、为组合计算几何。关于算法复杂 性的研究，自1961年库克(Cook, S.A.)提出NP完全性理论以来，已经将这一思想渗透 到组合学的各个分支以至数学和计算机科学中的一些分支。近20年来，用组合学中的方法已经解决了一些即使在整个数学领域也是具有挑战性的 难题。例如，范德瓦尔登(Van der Waerden, B.L.)于1926年提出的关于双随机矩阵积 和式猜想的证明；希伍德(Heawood, P.J.)于1890年提出的曲面地图着色猜想的解决； 著名的四色定理的计算机验证和扭结问题的新组合不变量发现等。在数学中已经或正在形成 着诸如组合拓扑、组合几何、组合数论、组合矩阵论、组合群论等与组合

9、学密切相关的交叉 学科。此外，组合学也正在渗透到其他自然科学以及社会科学的各个方面，例如，物理学、 力学、化学、生物学、遗传学、心理学以及经济学、管理学甚至政治学等。2定义及相关定义及公式排列数公式排列的定义及其计算公式:从n个不同元素中，任取m(msn,m与n均为自然数,下同) 个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n 个不同元素中取出m(msn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元 素的排列数，用符号 A(n,m)表示。A(n,m)=n(n-1)(n-2) (n-m+1)= n!/(n-m)!此外规定 0!=1(n!表示 n(n-1)

10、(n-2 )1也就是 6 ！ =6x5x4x3x2x1)组合的定义及其计算公式：从n个不同元素中，任取m(msn)个元素并成一组，叫做 从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(msn)个元素的所 有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号C(n,m)表示。C(n,m)=A(n,m)/m！； C(n,m)=C(n,n-m)(nm)其他排列与组合公式从n个元素中取出m个元素的循环排列数=A(n,m)/m!=n!/m!(n-m)!. n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,.nk这n个元素的 全排列数为n!/(n1! Xn2! x.xnk!). k

11、类元素，每类的个数无限，从中取出m个元素的组 合数为 C(m+k-1,m)。符号例题:求 卩11 + 2*2! + 3*3! + 严!=?解：因为;壮!=伉+ 1-1壮!=仗+ 1!-仁！所以原式=(2! 1!) + (3|2!) + (4!引)+ .+ 匕一仏一1)! + (怎 + 1)!/:!常见的一道题目C-Combination 组合数N-元素的总个数M-参与选择的元素个数A-Arrangement 排列数（在旧教材为 P-Permutation）卅1基本计数原理（1）加法原理和分类计数法1. 加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有ml种不同的方 法，在第二类办法中

12、有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+.+ mn种不同方法。2. 第一类办法的方法属于集合A1,第二类办法的方法属于集合A2,，第n类办 法的方法属于集合An,那么完成这件事的方法属于集合A1UA2U.UA n。3. 分类的要求：每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的 具体方法，互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类 不漏）。乘法原理和分步计数法1. 乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有ml种不同的方法， 做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完

13、成这件事共有N=m1xm2xm3x.xm n种不同的方法。2. 合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务;各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。3与后来的离散型随机变量也有密切相关。二项式定理(a+b)n=R( 0-n)C(in)aA(n-i)bAi1通项公式：a_(i+1) =C(in)aYn-i)ii二项式系数：C(in)杨辉三角：右图。两端是1,除1外的每个数是肩上两数之和。系数性质：和首末两端等距离的系数相等；当二项式指数n是奇数时，中间两项最大且相等；111121133114&41151010E1

14、16152015E1172135352171182856705&28811936841261268-43691当二项式指数n是偶数时，中间一项最大。二项式展开式中奇数项和偶数项总和相同，都是2人(n-1)；二项式展开式中所有系数总和是2F历史1772年，法国数学家范德蒙德(Vandermonde, A. - T.)以np表示由n个不同的 元素中每次取p个的排列数。瑞士数学家欧拉(Euler, L.)则于1771年以及于1778年以表示由n个不同元素中 每次取出p个元素的组合数。1830年，英国数学家皮科克(Peacock, G)引入符号Cr表示n个元素中每次取r 个的组合数。1869年或稍早些,剑桥的古德文以符号nPr表示由n个元素中每次取r个元素的排列 数，这用法亦延用至今。按此法，nPn便相当于n!。1872年，德国数学家埃汀肖森(Ettingshausen, B. A. von)引入了符号(np)来表 示同样的意义，这组合符号(Signs of Combinations) 直沿用至今。18