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1、圆锥曲线知识概要知识概要】椭圆双曲线抛物线焦点 （土c, 0） （0, 土 c） （土 c, 0） （0, 土 c） 产,0）:（_ 2,0） 2 2（0,必）：（0, _必）2 2顶 点焦点在x轴上：（土 a , 0），（0, 土 b）焦点在y轴上：（0, 土 a ），（土b, 0）焦点在x轴上：（土 a , 0）焦点在y轴上：（0 , 土 a）（0,0）关系c2 = a 2 - b2 （ a b 0）c2 = a 2 + b2 （ a 0, b 0 ）p为焦点到准线的距离离心率ce = _ 1ae = 1准线 焦点在x轴上：x = 土 c 焦点在y轴上：y = c 焦点在x轴上：x = 土
2、 c 焦点在y轴上：y = c 焦点在x轴上，开口向右准线：丫42 焦点在x轴上，开口向左准线：x = 42 焦点在y轴上，开口向上准线：y亠丿y = _2 焦点在y轴上，开口向下准线：v p丿y 一2渐近线 焦点在x轴上：y = bxa 焦点在y轴上：y = 土 axb统一定义到定点F的距离与到定直线l （F g l）的距离之比等于定值e的点的集合 0 e 1时，轨迹是双曲线，e = 1时，轨迹是抛物线。（注:焦点要与对应准线配对使用）2椭圆与双曲线的定义反映了它们的图形特点，是画图的依椐和基础，而定义中的 定值是求标准方程的基础。在许多实际问题中正确使用这一定义可以使问题的解决更加灵 活。
3、另外当焦点位置不确定时，椭圆的标准方程可以统一设成m x2 + ny 2 = 1（m 0, n 0, m 丰 n）， 双曲线的标准方程可以统设成 m x 2+ ny 23椭圆和双曲线的离心率是反映椭圆的扁平程度以及双曲线开口大小的一个量，其 取值范围分别是o e 1 .离心率的求解问题是本单元的一个重点，也是高考的热点 内容，在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值去计算，而是根椐题目 给出的椭圆与双曲线的几何特征，建立关于参数c、a、b的方程或不等式求得离心率的值 或范围。椭圆的离心率e与c、 a、b的关系：e2 = x a b = _（b）2 ； a 2 a 2a双曲线的离心
4、率e与c、a、b的关系：e2 = r a + b = 1 +（b）2 a 2a2a4双曲线的特殊性质（1）等轴双曲线：双曲线x2 - y 2 = + a 2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y = x，离心率e八;；。（2）共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线。三止八 与三出九互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：a 2 b2a 2 b2x2 y 2- =0。a 2 b2（3）渐近线是双曲线的特有标致，它反映了双曲线的变化范围和趋势。如果双曲线的渐近线为y = b x ，则它的双曲线方程可设为比= X （九工0 ）；要求双曲线 aa 2b2-止=X
5、（尢工0）的渐近线只需令x = 0即可。 a 2 b2F、F是其两个焦点，且Z F PF = 0 ，1 2 1 25若p是椭圆+丄=1（ab0）上一点,a2b2F 、 F 是其12则AF PF的面积S = b2tan ；若P是双曲线-止=1 （a0, b0）上一点,1 22a2b2两个焦点，且ZFPF =0，则A FPF的面积S =上-1 2 1 20_ta n 2 6.已知过抛物线y 2 = 2 px（ p0）的焦点的直线交抛物线于两点A（ x , y）、11B(x2, y2) ，则22有下列性质：AB = x + x + p，或AB = (a为直线AB的倾斜角)，y y = - p12si
6、n 2 a1 27直线1与圆锥曲线c的位置关系有相交、相切、相离三种情况。其判断方法都是利用代数方法，将直线1的方程与圆锥曲线C的方程联立，消去y得到 一个关于x的一元二次方程ax 2+ bx + c = 0。（1）当a工0时，若有A0，则1与C相交；若有A = 0，则1与C相切；若有A 0，则1 与c相离；（2）当a = 0时，即得到一个一次方程，若方程有解，贝令与c相交，此时只有一个公共 点，若C为双曲线，则直线1与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，直线1与抛物线的对 称轴平行。所以当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时，直线1的与双曲线、抛物线可 能相切，也可能相交。若斜率为k的直线与圆
7、锥曲线交于两点A （ x , y ）、B （ x , y ），则弦长:AB = V1 + k 2 - I x21 1 2 21= I (1 + k 2)( x + x )2 - 4 x x 1 2 1 2=1 +-1 y - y 1=（1 +） - （ y + y ）2 - 4 y y （k 丰 ）u k 2 2 1k 21 21 28高考导航 圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，它的基本特点是数形兼备，兼容并包，可与代数、 三角、几何知识相沟通，历来是高考的重点内容。纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查， 基本上是两个客观题，一个主观题，分值21分24分，占15%左右，并且主要体现出以下 几个
8、特点：1）圆锥曲线的基本问题，主要考查以下内容： 圆锥曲线的两种定义、标准方程及a、b、c、e、p五个参数的求解。 圆锥曲线的几何性质的应用。2）求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高，此类问题的解决需掌握四种 基本方法： 直接法：建系、设点、列式、化简、证明（可以省略），此法适用于较简单的问题； 定义法：如果能够确定动点的轨迹满足已知曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的定义， 则可由曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的定义直接写出轨迹方程； 待定系数法：若已知曲线的形状（如椭圆、双曲线、抛物线），可用待定系数法； 相关点法（坐标代换法）：若动点p （ x , y ）依赖于另一动点Q （ x ,
9、y ），而Q （ x , y ）又在1 1 1 1某已知曲线上，则可先写出关于x , y的方程，再将x , y换成x, y。1 1 1 13）有关直线与圆锥曲线位置关系问题，是高考的重热点问题，这类问题常涉及圆锥曲 线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往要利用数形结合 思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的形式出现。4）求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题，是高考命题的一大热点，这类问题综合 性较大，运算技巧要求较高；尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合，特别近 年出现的解析几何与平面向量结合的问题，是常考常新的试题，将是今后高考命题的一个趋 势。
