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1、 考研数学 1 . 设，问和为何值时，可导，且求解：时，时， 由处连续性，可知再由处可导性，存在存在且根据洛必达法则， 于是例2 设为周期是5的连续函数，在邻域内，恒有。其中，在处可导，求曲线在点（）处的切线方程。解：由题设可知，故切线方程为 所以关键是求出和 由连续性 由所给条件可知， 再由条件可知令，又 上式左边= =则 所求切线方程为 即 例2 设，求 （正整数）解： 微分中值定理一、用罗尔定理的有关方法例1 设在0，3上连续，在（0，3）内可导，且，. 试证：必存在，使 证： 在0，3上连续， 在0，2上连续，且有最大值和最小值.于是；，故. 由连续函数介值定理可知，至少存在一点使得，
2、因此，且在，3上连续，（，3）内可导，由罗尔定理得出必存在使得。例2 设在0，1上连续，（0，1）内可导，且求证：存在使证：由积分中值定理可知，存在，使得得到 对在0，c上用罗尔定理，（三个条件都满足）故存在，使例3 设在0,1上连续，(0，1)内可导，对任意，有求证存在使证：由积分中值定理可知存在使得令，可知这样，对在上用罗尔定理（三个条件都满足）存在，使而 又，则在例3的条件和结论中可以看出不可能对用罗尔定理，否则结论只是，而且条件也不满足。因此如何构造一个函数，它与有关，而且满足区间上罗尔定理的三个条件，从就能得到结论成立，于是用罗尔定理的有关证明命题中，如何根据条件和结论构造一个合适的
3、是非常关键，下面的模型，就在这方面提供一些模型：设在上连续，（）内可导，则下列各结论皆成立。（1）存在使（为实常数）（2）存在使（为非零常数）（3）存在使（为连续函数）证：（1）令，在上用罗尔定理 存在使消去因子，即证.（2）令，在上用罗尔定理 存在使 消去因子，即证。（3）令，其中 由 清去因子，即证。例4 设在上连续，在（0，1）内可导，试证： （1）存在，使。（2）对任意实数，存在，使得证明：（1）令，显然它在0, 1上连续，又，根据介值定理，存在使即（2）令，它在上满足罗尔定理的条件，故存在，使，即从而 （注：在例4（2）的证明中，相当于模型中（1）的情形，其中取为，取为）模型：设，在
4、上皆连续，（）内皆可导，且，则存在，使证：令，则，显然在上满足罗尔定理的条件，则存在，使，即证.例5 设在0, 1上连续，（0, 1）内可导，为正整数。 求证：存在使得 证：令，则，用模型，存在使得故则例6 设在内可导，且，求证在内任意两个零点之间至少有一个的零点 证：反证法：设，而在内，则令在上用罗尔定理（不妨假设否则结论已经成立）则存在使，得出与假设条件矛盾。所以在内至少有一个零点例7 设在二阶可导，且，又 求证：（1）在（）内；（2）存在，使 证：（1）用反证法，如果存在使，则对分别在和上用罗尔定理，存在使，存在使，再对在上用罗尔定理存在使与假设条件矛盾。所以在内（2）由结论可知即，因此
5、令，可以验证在上连续，在内可导，满足罗尔定理的三个条件故存在，使于是成立二、用拉格朗日中值定理和柯西中值定理例1 设在内可导，且， 求的值解：由条件易见，由拉格朗日中值定理，有其中介于与之间，那么 于是，则例2 设是周期为1的连续函数，在（0，1）内可导，且，又设是在1，2上的最大值，证明：存在，使得。 证：由周期性可知，不妨假定而，对分别在1, 和, 2上用拉格朗日中值定理， 存在，使得 存在，使得 如果，则用式，得；如果，则用式，得；因此，必有，使得例3 设在0, 1上连续，（0, 1）内可导，且，证明： （）存在，使得 （）存在，使证：（）令，则在0, 1上连续，且，用介值定理推论存在，
6、使，即 （）在0, 和，1上对用拉格朗日中值定理，存在，使得存在，使 例4 设函数在闭区间上连续，在开区间（）内可导，且，若极限存在，证明： （1）在内； （2）在内存在，使； （3）在内存在与（2）中相异的点，使证：（1）因为存在，故，由在上连续，从而. 又知在内单调增加，故 （2）设， 则，故，满足柯西中值定理的条件，于是在内存在点，使 ，即 （3）因，在上应用拉格朗日中值定理，知在内存在一点，使，从而由（2）的结论得， 即有 .三、泰勒公式（数学一和数学二）例1 设在-1，1上具有三阶连续导数，且，. 求证：，使. 证：麦克劳林公式 其中，介于0与之间。 后式减前式，得 在上连续，设其最
7、大值为，最小值为.则再由介值定理，使例2 设函数在闭区间上具有二阶导数，且，试证：在内至少存在一点，使成立。分析：因所欲证的是不等式，故需估计，由于一阶泰勒公式，（其中在之间）含有，因此应该从此入手. 再由知，应在两个区间上分别应用泰勒公式，以便消去公式中的项，同时又能出现项.证：在与上分别用泰勒公式，便有.两式相减，得.所以至少存在一点，使得 不定积分例、求下列不定积分（1） （2） （a）（3）（） （4）解：（1） =（2） （3）= =（4）=例、 求解： 6 662=2-3例、求解一：=-(这里已设x0)解二：倒代换 原式=(x0)例 求解一：x(arcsinx)=x2 =x+2 =
8、 x+2 = x+2 = x+2arcsinx2x+C解二：令arcsinxt，则xsint ， 2tcost2sint +C =x+2例 设f（x）的一个原函数F（x），求I解：Ixf（x）x = C例 设，当x时 f(x)F(x) ，又F(0)1，F(x)0， 求f（x）（x解：22而 =+ C ，C=0，又，因此 则 f（x）例8、设，求I解一：令u=，则sinx，xarcsin，f(u)=则 I2 222C解二：令x，则，dx2costsintdt，则I 2tcost22tcost2sintC 22C积分证明题例1、设f（x）在0,上连续，求证存在证：令F（x） 则F(0)0，F()0
9、，又0如果F(x)sinx在（0,）内恒为正，恒为负 则也为正或为负，与上面结果矛盾，故存在使，而sin，所以F（）0 于是在区间上分别用罗尔定理，则存在使，存在0，其中例2、设在0,1上有连续的一阶导数，且f（0）f（1）0，试证：，其中M证：用拉格朗日中值定理f（x）f（x）f（0），其中f（x）f（x）f（1）=,其中由 题设可知; 又因此M例3设f（x），g（x）在上连续，证明证一：（引入参数法）设t为实参数， 则2作为t的一元二次不等式 A2BtC，则AC0即,因此证二：（引入变上限积分）令F（u）于是2f（u）g（u） 则 F（u）在上单调不增 故即证三： （化为二重积分处理）令
10、I ， 则I，其中区域D：，同理 I 2I，故2I因此，I例4设f（x）在上连续，证明证：在例3中，令g（x）1，则于是例5设在上连续，且0，证明证：在例3柯西不等式中，取f(x)为 ，g(x)为则 ，而因此例6、设在上具有连续导数，且0，求证：证：在例3柯西不等式中取f(x)为，g（x）为x于是= 定积分的应用例1、求曲线 处法线与曲线所围成图形的面积解： 先找出法线方程 法线方程 y1（1）（x） xy曲线和法线xy的另一交点为 所求面积 S例2、设f(x)在上连续，在（a, b）内，证明，且唯一，使得yf（x），yf，xa，所围面积是yf（x），yf，xb 所围面积的三倍。证：令F（t）
11、 由连续函数介值定理的推论可知使F0再由，可知f（x）的单调增加性，则唯一例3、设yf（x）在上为任一非负连续函数。（1）试证：，使上以f（x）为高的矩形面积等于上以yf（x）为曲边的曲边梯形面积。（2）又设f（x）在（0，1）内可导，且，证明（1）中唯一。（1）证：设，则，且，对F(x)在上用罗尔定理，使，即证毕（2）证：令 2f(x)0(由（2）的已知条件)因此在（0，1）内， 单调减少，是唯一的例4 求由曲线y和直线y0，x1，x3 所围平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积。 解一：平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体体积平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体体积27所求体积=+=9解二： = =例5、设是由抛物线和直线x=a, x=2 及y=0 所围成的平面区域; 是由抛物线和直线x=a, y=0所围成的平面区域, 其中0a2.(1) 试求绕x轴旋转而成的旋转体体积;绕y轴而成的旋转体体积(如图)(2)问当a为何值时, +取得最大值? 试求此最大值解 (1) =
