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1、3.4正规子群 同态基本定理在本节中讨论群的同态基本定理。首先考虑一种特殊的等价关系。3.4.1定理 H是G的子群，在G上定义二元关系如下： a b当且仅当abJ H，则是G上等价关系。证任给a G,都有aa=e H，所以a a；(2) 任给a, bP,如果a b,则ab JH，所以ba A = (b)=(ab) H，因此 b a ；1 1(3) 任给 a, b, c三G，如果 a b 且 b c，贝U ab , bc ：=H，所 以 ac4 = aec = a(bb)c，= (ab)(bc)：=H,因此 a c。这种等价关系记为h，称为由H生成的等价关系。由H生成 的等价关系中的等价类有一个
2、明显的表示。3.4.2定理 H是G的子群，h是由H生成的等价关系。(1) 任给 a 二G,都有 a = Ha = ha | h 二 H。特别地，e = He = H。(2) 任给aG,都有恆|= |H|。证(1)任给x a，都有x h a,由h的定义得xaJ H，设 1 1 1xa = h：=H，贝U x = xe = x(a a) = (xa )a = ha, 因此 y：= Ha。任给xHa，都存在h H，使得x = ha,所以xa = (ha)a= h(aa 4) = he = h H，由 h 的定义得 x h a，因此 x |。(2)取 H 到 5 的映射 F : Ha F(h) = h
3、a。显然F是满射。任给x, y H ,如果F(x) = F(y),则xa = ya,由消去律得x = y, 所以F是单射。因为F是双射，所以= |H|。因为e= H，所以a h b当且仅当 ab H = e当且仅当 ab Jh e。定理342的告诉我们，商集 G/h中每个元素(作为 G的 子集)的基数都是|H|,这样的元素共有|G/h|个，所以有：3.4.3定理 如果H是G的子群，则|G | = |H|G/h|o 这个结果用在有限群上就有：3.4.4定理 Lagrange定理 G是有限群。任给G的子群H , 都有 |H| | |G|o 如果|a| = d，则| = d，所以有:3.4.5定理
4、G是有限群。任给 a G,都有|a| | |G|。现在考虑正规的等价关系。群只有一个运算，所以群上的正规等价关系是条件是：如果x y, a b,则xa yb。这个条件称为 正规性条件。3.4.6引理 是群G上的正规等价关系。(1) 任给 a, b -G,如果 a b,则 a， b。(2) e是G的子群。证 显然有a4a4, bb，由正规性得aab4 abb4 , 所以b4a4,由对称性得a，b4o(2)2.1 e e。2.2 任给a, b：=e，都有ae, be,由正规性得 abee= e, 所以abe o2.3 任给a e,都有ae,由得a，e4 = e,所以aJ e。3.4.7定理 G是群
5、，是G上的正规等价关系，则存在G的子群H，使得=h o证取G的子群H =e，证明=h o如果ab,则由正规性得 ab4bb，= e,所以ab e= H, 因此a h bo如果a h b,则由h的定义得ab三H = e，所以ab e,由 正规性abb eb,所以a b定理347说明了 G上任何一个正规等价关系都是由G的子群生成的，但并不是每个子群都能生成正规等价关系。3.4.8定义 正规子群H是G的子群，如果h是正规等价关系，则称H是G的正规子群，记为 H G。3.4.9例e和G都是G的正规子群。如果群 G除 e和G 外没有其它正规子群，则称G为单群。|G|3.4.10例 G是有限群，H V G
6、。如果 討=2，则H G。特别 地，因为署=2，所以An Sn。取 a 泪=e，则 G/h = e, a，任给 x G，都有 x h e或 x h a，因此(x h e)当且仅当 x h a。先证明如果x H y，则XH y。设xh y。如果x4He，则xHe，所以y h e，所以y，h e，所以y h e，因此 x h y 。如果 x4 h a，则(x，h e)，所以(x h e)，所以(y h e)， 所以一(y h e)，所以 y h a，因此 x h y4再证H是正规的。设x h s，y h t，则由以上所证得 yHt，所以xHy*当 且仅当s h t4如果 xy h e，则 x(y
7、4)4 h e，所以 x h y，所以 s h t， 所以s(t) h e，所以st h e，因此xyst。如果 xy h a，则(xy h e)，所以(x(y) h e)，所以 一(x h y4)，所以(sh)，所以 一(s()4 h e)，所以-(sth e)，所以 st h a，因此 xy st。3.4.11例 G是一个群，集合 Z(G) = a | a G且任给x G， 都有ax = xa称为G的中心，Z(G)是G的正规子群。先证Z(G)是G的子群。任给 a, b Z(G),任给 x G,都有(abA)x = a(bx) = a(xf = a(bx )= a(xb ) = (ax)b
8、= (xa)b = x(ab )，所以 ab Z(G)。再证Z(G)是G的正规子群。如果 x Z(G)S, y Z(G) t，则由 Z(G)的定义得 xs，ytZ(G), 所以 xsytZ(G)，由 ytZ(G)得 syt=yts，所以 xy(st)J = xyts=xsytEZ(G)，由 z(g)的定义得 xy z(g)st。用H本身的条件来刻画更为方便。3.4.12定理 H是G的子群。H是G正规子群 当且仅当 任 给aG,任给h H，都有aha H。证设H是G正规子群。任给a EG，任给hH，都有h h e，由正规性得ah h ae = a， 由h的定义得aha. H。设任给 a：=G,任
9、给 h：=H， ahaJ H。如果x h s，y h t,则由h的定义得xsJ H且yt4 H，由 xs4 H 得 sx = x(xs)x H，所以 sxyt H，因此 xy(st)，= xyts = s(sxyt)s H，由 h 的定义得 xyH st。3.4.13例 同构保持正规子群不变。Hi G!且H2 G2,如果H1 H2 且 Gi G2,则 Hi Gi 当且仅当 H2 G203.4.14例交换群的每个子群都是正规子群，因为在交换群 中有aha，= h。特别地，nZ是Z的正规子群。3.4.15例 取例3.2.5中的群R* x R,则1 x R是它的正规 子群，而R* x 0不是它的正规
10、子群。任给 wR* x R，任给 三1 x R，都有 = 1 x r。取 R* x R , R* x 0，则11, 12, 01, 1= 2, -1 -一R* x 0。和子群不一样，正规子群没有传递性。从H K且K G 一般不能得到H G。如虽有B A4且A4 S4,但没有B S4。但关于子群的另一性质对于正规子群仍然成立。3.4.16 定理如果 H G，K V G 且 HK，贝U H K。因为每个正规的等价关系都是由正规子群生成，我们用正规 子群来重述群的商结构。3.4.17 定理 G, ； e是群，H G,则 G / h,； 是群。证 (1)任给 x,y , z G / H, (x y)z
11、 =(xy)z=x(yz) = xcy z)o(2) 任给 X G / h , e x = ex= x。(3) 任给 x G / h，取 xG / h，则 x = xx = e。 群G, , e的商结构G / h, ； e称为商群，因为h由H生 成，而e= h，所以也把商群g / h, , e记为G / H, ； H，简记 为 G / H。由定理3.4.15还可知，在商群G / h, , e中, a的逆元素a， 就是a 。3.4.18例 n _1, Z对于nZ的商群 Z / n Z也Z / n。3.4.19 例 由定理 2.3.14 可知 In(G)V Aut(G)，由习题 3.3.8 可知，
12、任给a In(G),任给5三Aut(G)，都有d a?L In(G)，所以 In(G) Aut(G)oAut(G)对于In(G)的商群Aut(G) / In(G)称为G的外自同构群。以下考虑群的同态，G1和G2是两个群，；是G1到G2的映射。 二是同态条件是：(1) ；：(e1)= e2。(2) 任给 a, b G,都有 qab) = ；(a)；(b)。3.4.20定理 如果二是G1到G2的同态，则任给 a G,都有1 1讥a ) = ：Ha)。证同定理3223。 3.4.21例 H是G的子群，取二：H G；:(a) = a贝U ；:是H到G的单同态，因为c(e) = e, c(ab) = a
13、b = ；(a)；(b)。如果 H是G的真子群，则二不是满同态。3.4.22 例 F： Sn U2 F(；)= sgn(；)是 Sn 到 5 的同态， 因为 F(e) = 1, F(二?.) = sgn(；？.) = sgn(二)sgn(.) = F(二)F(.)。显然,F 是满同态。3.4.23例 取例3.2.5中的群 R*x R，取二：R* x Rr R*；:() = a贝,：是R* x R到R*的满同态，因为c() = 1 ,c() = ；() = a1a2= ；()；()。显然:不是单同态。3.4.24定义 象、逆象和核匚是G1到G2的同态，X5 G,丫 一 G2。(1) 4X = ；
14、(x) | x X，称为 X 在二下的象。(2) - Y = x | ；(x) 丫，称为 Y在二下的逆象。(3) ker(门=；= x |二(x)=时，称为同态 二的核。3.4.25 例在例 3.4.22 中，ker(F) = c | F(；r) = 1 = 匚 | sgn(；r) = 1 = A n。在例3.4.23中，ker(；J = | 二() = 1= | a = 1 =1 x r。3.4.26定理二是G1到G2的同态，贝V(1) Gi的同态象；g是G2的子群。(2) ；:是Gi至到;：Gi的满同态。(2)如果;是单同态，则GidGi。证(i)任给 c(a), c(b)m：,Gi，都有iii；j(a)；j(b)=广(a)；(b ) = c(ab ) 4Gi。(2) :是Gi到;:Gi
