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1、洛必达法则的简便证明(以xX 为例)o柯西中值定理可用于证明洛必达法则和泰勒公式定理(0型，一型)若函数f和g满足条件01) lim f(x) lim g(x) 0 (是说极限为型不定式) (一型中的1) lim g(x)X XoXX)2)x Xo g (x) 且有确定的趋势)，则0x xolim丄凶A(A为实数或，)(是说在x0的某邻域Uo(X)内，丄M 0o有意义,g (x)lim 竺 A.x g(x)x0证明型1. A有限故 0，U(x )，分子分母同除以g(x)，即X U o(X0)，Af (x Ag (x) 所以， X ,x U o(X0) 且X X X，由柯0西中值定理，(x x)
2、U o(x。)，使f(X)f(x) f ()令Xx0，由保号性，f(x)A limA由实数a b的语言形式 的定义，lim f(x) A.XXg(x)g(x) g(x)g()从lim f(X)知f(x)0,否贝山x x g (x)lim f?x)x x g (x)00，与假设矛盾2.A由无穷小与无穷大的关系，lim g(x)0x o f (x)X从而化为已证的A有限的情形，有lim g()-0，故由无穷小与无穷大f (x)的关系，Ag(x) g(x)g(x)Ag(x)令XX ,由 lim g(x)0及保号性，A! f (X )AAlimA由ab的语言形式的定义，lim丄人A,艮卩limf(x)
3、A.XXg(x)g(x)因为G 0, Uo(x), xoUo(X),0|f(X)| G.g(x)所以,Xx，由X ,X Uo(X)且 X柯西中值定理，(X X)Uo(X),0使得| f(x) f(x) f()1f(x) f(x)g(x) g(x) g ()分子分母同除以g(x),有f(x) f(x) | f(x)i r f(x) |f (X)G | g(x) g(x)| g(x)_g(x)ilim-g(x)Ag |g(x)ig(x)得.gix ig(x)1|ifx)gtxTg(x) g(x)(x) 1|g(x)即故 lim ()x x0 g(x)b(x)11g(x),f(x) 1及定义，g(x
4、)|f(x) g(x)|f(x)|iGg(x) 2fxpg(x)1( i )及保2iG |f(x)|2 g(x)由实数a b的语言形式的定义，|f(x)| 丄 G. g(x) 2A，即limX X0g(x)注 同时满足定理的几个条件才可适用只有断言|imXxf (x) g(x)A时(A为实数或)，洛必达法则才能使用否则，无法使用.2x sin 例如lim12x sinx 0.精lim丄凶不存在，无法使用定理作判断，其实, x 0 g(x)品文档, 你值得期待2) 可以在求一个极限时，多次使用 .3 )及时化简如约分，或及时分离出存在极限的因子，以免因求导引起解析式更繁琐如secxlim .- tanx
