沪教版-初中数学-整式的运算

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1、整式的运算一、知识梳理（一）考点总结：1、代数式 2、列代数式 3、代数式的值 4、整式的概念 5、整式的运算（二）考点讲解考点一 代数式 定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数与字母连接而成的式子叫代数式。注意：（l）单个数字与字母也是代数式；（2）代数式与公式、等式的区别是代数式中不含等号，而公式和等式中都含有等号；考点二 列代数式 1列代数式：用含有数、字母和运算符号的式子把问题中与数量有关的词表示出来，就是列代数式。 2代数式的书写要求 （1）代数式中出现的乘号通常用“”表示或者省略不写；数与字母相乘时，数应写在字母前面；数与数相乘时，仍用“x”号。 （2）数字与字母相乘

2、、单项式与多项式相乘时，一般按照先写数字，再写单项式，最后写多项式的书写顺序，如式子（a+b）2a应写成2a（a+b）。 （3）带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后再与字母相乘。 （4）在代数式中出现除法运算时，按分数的写法来写 （5）在一些实际问题中，有时表示数量的代数式有单位名称，如果代数式是积或商的形式，则单位直接写在式子后面；如果代数式是和或差的形式，则必须先把代数式用括号括起来，再将单位名称写在式子的后面，如2a米，（2a-b）kg。 注意：列代数式的关键是找出问题中的数量关系及公式，如：路程=速度时间。售价=标价折扣率；质量=密度体积等等，另外要想正确列出代数式，必须正确理

3、解问题中的关键词语，如“和、差、积、商、大、小、多、少”等。 考点三 代数式的值 1代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。2求代数式的值的基本步骤：（1）代入，一般情况下，先对代数式进行化简，再将字母的数值代人；（2）计算时按代数式里的运算关系计算出结果。说明：代数式中的字母所取的值，要使代数式有意义； 一个代数式中的同一字母要用同一个数值去代替，且注意多个字母情形下的对应关系，切忌张冠李戴； 为了避免混淆，注意括号前原来省略乘号的地方要添上乘号，当代入的字母是负数时，代入后应加上括号，另外字母是分数时，遇到乘方也要加括号。 考点四 整式的

4、概念 1单项式：数与字母的积所表示的代数式叫做单项式，单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，特别地，单独一个数或者一个字母也是单项式。 注意：（1）是个数，不能把它当成字母。如xy2的系数是，次数是3，不能错写成系数是1，次数是4。 （2）像a，0等都是单项式。特别地，像（+）也是单项式。 （3）单项式的次数应是字母的指数和，与系数没有任何关系。如105x2y次数是2+1=3，而不是5+2+1=8。 2多项式：几个单项式的和叫做多项式，在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；在多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数。

5、注意：（1）像这样的代数式也是多项式；（2）多项式的项数指的是合并完同类项后的项数。 3整式：单项式与多项式统称为整式。 4升（降）幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大（或从大到小）的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升（降）幂排列。 5同类项：所含字母相同并且相同字母的指数相同的项叫做同类项， 考点五 整式的运算 1整式的加减 （1）合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并法则：把同类项中的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。 （2）去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里面的各项都不改变符号；括号前面是“-”号

6、，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里面的各项都改变符号，符号表示：+（a+b）=a+b；-（a+b）=-a-b。 （3）添括号法则：所添括号前面是“+”号，括到括号里面的各项都不改变符号；所添括号前面是“-”号，括到括号里面的各项都改变符号。符号表示：a+b=+（a+b）；-a-b=-（a+b）。 （4）整式加减的步骤：有括号先去括号；有同类项，先合并同类项。 说明：添括号法则在北师大版教材中没有出现，但整式加减运算较多；去括号和添括号是互逆的。 2整式的乘法 （l）幂的运算性质：aman=am+n，（am）n=amn，（ab）n=anbn，amn=am-n。 （2）零指数幂和负指数幂：a0

7、=1（a0）；a-p= （3）单项式乘以单项式：将系数与同底数的幂分别相乘。 （4）单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 （5）多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 特殊的多项式乘以多项式 平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2 完全平方公式：（ab）2=a22ab+b2 注意：要掌握以上两种公式的结构特征。 3整式的除法 （1）单项式除以单项式：将系数及同底数幂分别相除。对五只在被除式中出现的字母则连同它的指数保留在商中。 （2）多项式除以单项式：把这个多项式的每一項除以这个单项式，再把所得的商相加。 4幂的运

8、算（1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即aman=am+n（m、n都是正整数）。（2）幂的乘方，底数不变，指数相乘，即（am）n=amn（m、n都是正整数）。（3）积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即（ab）n=anbn（n是正整数）。（4）同底数幂相除，底数不变，指数相减，即aman=am-n（a0，m、n都是正整数）。 （5）整式的混合运算：先乘方，后乘除，最后加减，如有括号，就先算括号里面的，说明：要尽量使用公式或运算律时，使运算过程简捷。（三）易混知识清单 知识归纳 易混点一 同类项的概念及运用。 1所含字母相同。 2相同字母的指数也分别相同。 易混点二 不

9、能准确把握单项式、多项式、同类项及整式等的差异，从而导致判断或运算错误。 易混点三 运用去括号与添括号法则。当去括号时，括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项都改变符号；有多层括号时，依去括号法则，可以先去大括号，再去中括号，最后去小括号，由外及内，添括号时反之。 易混点四 由于混淆幂的四条运算性质而导致运算错误。 （1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。aman=am+n（m，n为正整数）。 （2）同底数幂相除，底数不变，指数相减。aman=am-n（m，n为正整数）。 （3）幂的乘方，底数不变，指数相乘。（am）n=amn（m，n为正整数）。 （4）积的乘方，等于把积的

10、每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。（ab）n=anbn（n为正整数）。 易混点五 （a-b）n与（b-a）n的关系 当n为奇数时两者互为相反数，当n为偶数时，两者相等。二、经典习题（一）方法篇方法一 分类讨论法：根据同类项的概念；寻找同类项的过程就是把多项式的项按所含字母及字母的次数进行分类。在寻找中，如果几个单项式所含的字母的顺序不同，可以根据乘法的交换律把字母按照一定的顺序（如英文字母表顺序）排列好，以便比较其字母是否相同，只有所含字母完全相同，而且相同字母的指数也分别相同的两个单项式才是同类项。在多项式中，若有几组同类项，要分类进行合并化简。 例1 下列四组中的两项是同类项的是 （

11、）A,-2b与5ab2 B.0.5ab与C.-2x2y3与5y3x2 D.3a与2b 例2 已知a+b=m，ab=-4，化简（a-2）（b-2）的结果是 （ ） A6 B2m-8 C2m D-2m 例3 观察下面的点阵图形和与之相对应的等式，探究其中的规律： （1）请你在和后面的横线上分别写出相对应的等式： 40+1=41-3 41+1=42-3 42+1=43-3 _ _ （2）通过猜想，写出与第n个图形相对应的等式。 （二）精析篇例1 某公园一块草坪的形状如图2-6所示（阴影部分），用代数式表示它的面积为_。 例2 如果代数式4y2-2y+5的值为7，那么代数式2y2-y+1的值等于 （

12、） A2 B3 C-2 D4 例3 下列算式是一次式的是 （ ） A8 B4a+3b C. D. 例4 下列各式中，与x2y是同类项的是 （ ）A.xy2 B.2xy C.-x2y D.3X2y2 例5 化简m-n-（m+n）的结果是 （ ） A2m B-2m C-2n D2n例6 下列运算正确的是 （ ）A.x9x3=x3 B.（-x4）3=-x12C.x2x4=x8 D.（x2+x3）2=x4+x5+x6例7 计算2x2（-3）x3的结果是 （ ）A.-6x5 B.6x5 C.-2x5 D.2x5 例8 已知x2+y2=25，x+y=7，且xy，则x-y的值为多少？（三）易错篇易错题一 为

13、鼓励节约用电，某地对居民用户用电收费标准作如下规定：每户每月用电如果不超过100度，那么每度电价按a元收费；如果超过100度，那么超过部分每度电价按b元收费。某户居民在一个月内用电160度，他这个月应缴纳电费是_元（用含a、b的代数式表示）。 易错题二 若9xa+bya-b与xa-1y3是同类项，那么 （ ） Aa=-1，b=2 Ba=1，b=-2 Ca=-2，b=1 Da=2，b=-1易错题三 （1）计算x2y3（xy）2的结果是 （ ） Axy Bx Cy Dxy2 （2）a3a4a5=_。（3）下列计算正确的是 （ ）A.2x33x2=6x6 B.x3+x3=x6C.x10x5=x2 D.x4x5y=（4）下列运算中，正确的是 （ ）A.2a+3b=5ab B.3a-2= C.（-x）5（-x）3=-x8 D.（-1）0=1 易错题四 下列计算正确的是 （ ）A.（-4X）（2x2+3x-1）=-8x3-12x2-4xB.（x+y）（x2+y2）=x3+y3C.（-4a-1）（4a-1）=1-16a2D.（x-2y）2=x2-2xy+4y2三、学生练习1买一个篮球需要m元，买一个排球需要n元，则买3个篮球和5个排球共需要_元。2数字解密：若第个数是3=2+1，第二个数是5=3+2，第三个数是9=5+4，第四个数是17=9+8，观察并猜想第六个数应