《第一章导数及其运用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第一章导数及其运用（48页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五章 导数及其运用知识网络导数的概念基本初等函数的导数公式导数函数的单调性研究的的的函数的极值与最值研究导数的定义导数的物理及几何意义意义导数的运算导数的四则运算法则及复合函数的导数导数的应用最优化问题计算定积分的的的定积分与微积分的基本定理定积分的应用第1讲 导数的概念及运算 知 识 梳理 1.用定义求函数的导数的步骤.（1）求函数的改变量y；（2）求平均变化率.（3）取极限，得导数（x0）=.2.导数的几何意义和物理意义几何意义：曲线f（x）在某一点（x0，y0）处的导数是过点（x0，y0）的切线的 物理意义：若物体运动方程是s=s（t），在点P（i0，s（t0）处导数的意义是t=t0处
2、的 解析：斜率.；瞬时速度.3. 几种常见函数的导数（为常数）；（）； ； ； ； ；. 解析：4.运算法则求导数的四则运算法则：； ； .解析：； 复合函数的求导法则：或 重 难 点 突 破 1.重点：理解导数的概念与运算法则，熟练掌握常见函数的计算和曲线的切线方程的求法2.难点：切线方程的求法及复合函数求导3.重难点：借助于计算公式先算平均增长率,再利用函数的性质解决有关的问题.（1）平均变化率的实际含义是改变量与自变量的改变量的比。问题1.比较函数与,当时,平均增长率的大小.点拨:解题规律技巧妙法总结: 计算函数的平均增长率的基本步骤是(1)计算自变量的改变量(2)计算对应函数值的改变量
3、(3)计算平均增长率: 对于,又对于,故当时, 的平均增长率大于的平均增长率.（2）求复合函数的导数要坚持“将求导进行到底”的原则,问题2. 已知,则 .点拨：复合函数求导数计算不熟练,其与系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:.设,则. （3）求切线方程时已知点是否切点至关重要。问题3. 求在点和处的切线方程。点拨：点在函数的曲线上，因此过点的切线的斜率就是在处的函数值；点不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线切忌直接将，看作曲线上的点用导数求解。即过点的切线的斜率为4，故切线为：设过点的切线的切点为，则切线的斜率为，又，故，。即切线的斜率为4
4、或12，从而过点的切线为： 热 点 考 点 题 型 探 析考点1: 导数概念题型1.求函数在某一点的导函数值例1 设函数在处可导，则等于 A B C D【解题思路】由定义直接计算解析.故选【名师指引】求解本题的关键是变换出定义式考点2.求曲线的切线方程例2(高明一中2009届高三上学期第四次月考)如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则= .【解题思路】区分过曲线处的切线与过点的切线的不同，后者的点不一定在曲线上. 解析:观察图形,设,过P点的切线方程为即它与重合,比较系数知:故=2【名师指引】求切线方程时要注意所给的点是否是切点若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标题型3.求
5、计算连续函数在点处的瞬时变化率例3一球沿一斜面从停止开始自由滚下，10 s内其运动方程是s=s(t)=t2(位移单位：m，时间单位：s)，求小球在t=5时的加速度.【解题思路】计算连续函数在点处的瞬时变化率实际上就是在点处的导数.解析：加速度v= (10+t)=10 m/s.加速度v=2t=25=10 m/s.【名师指引】计算连续函数在点处的瞬时变化率的基本步骤是1. 计算2. 计算【新题导练】.1. 曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是 .解析：曲线和在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=x+2和y=2x1，它们与轴所围成的三角形的面积是.点拨:与切线有关的问题
6、,应有运用导数的意识,求两曲线的交点坐标只要联立解方程组即可.2. 某质点的运动方程是，则在t=1s时的瞬时速度为（ ）A1B3C7D13解:B 点拨:计算即可3. 已知曲线C1:y=x2与C2:y=(x2)2,直线l与C1、C2都相切，求直线l的方程.解：设l与C1相切于点P(x1,x12),与C2相切于Q(x2,(x22)2)对于C1：y=2x,则与C1相切于点P的切线方程为yx12=2x1(xx1),即y=2x1xx12对于C2：y=2(x2),与C2相切于点Q的切线方程为y+(x22)2=2(x22)(xx2),即y=2(x22)x+x224两切线重合，2x1=2(x22)且x12=x
7、224,解得x1=0,x2=2或x1=2,x2=0直线l方程为y=0或y=4x4点拨:利用解方程组求交点,利用直线间的位置和待定系数法求斜率.考点2 导数的运算题型1:求导运算例1 求下列函数的导数：（1） （2） （3）【解题思路】按运算法则进行解析 （1）（2）（3）【名师指引】 注意复合函数的求导方法（分解求导回代）；注意问题的变通：如的导数容易求错，但的导数不易求错.题型2:求导运算后求切线方程例2. (广州市2008届二月月考)已知函数（1）若，点P为曲线上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；（2）若函数上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a.【解题思路】先按
8、运算法则求导,再按几何意义求切线方程.解析：（1）设切线的斜率为k，则 又，所以所求切线的方程为： 即【名师指引】求三次函数图象的切线在高考中经常出现.与曲线相切于P处的切线方程是（ D ）A B C D 题型3:求导运算后的小应用题例3. 某市在一次降雨过程中,降雨量与时间的函数关系可近似地表示为,则在时刻的降雨强度为( )A. B. C. D. 【解题思路】先对的求导,再代的数值.解析:选D【名师指引】求某一时刻的降雨量相当于求瞬时变化率,即那一时刻的导数值.【新题导练】.4. 设函数，且，则 A0 B-1 C3 D-6思路分析: 按导数乘积运算法则先求导,然后由已知条件构造关于的方程求解
9、.解 : +故 又,故5. 设函数，（、 是两两不等的常数），则 解析:代入即得0.6. 质量为的物体按的规律作直线运动,动能,则物体在运动后的动能是 解析:先求瞬时速度后,再代入公式求解提3125J 抢 分 频 道 基础巩固训练1. (广东省六校2009届高三第二次联考试卷)是的导函数，则的值是 解析: 故=32. (广东省2008届六校第二次联考)在处的导数值是_. 解析：故填3. 已知直线x+2y4=0与抛物线y2=4x相交于A、B两点，O是坐标原点，P是抛物线的弧上求一点P，当PAB面积最大时，P点坐标为 .解析：|AB|为定值，PAB面积最大，只要P到AB的距离最大，只要点P是抛物线
10、的平行于AB的切线的切点，设P（x,y）.由图可知，点P在x轴下方的图象上y=2,y=,kAB=,x=4,代入y2=4x(y0)得y=4. P(4,4)4.(广东省深圳市2008年高三年级第一次调研考试)已知，（），直线与函数、的图像都相切，且与函数的图像的切点的横坐标为1求直线的方程及的值；解：依题意知：直线是函数在点处的切线，故其斜率，所以直线的方程为又因为直线与的图像相切，所以由，得（不合题意，舍去）；5.(湛江市实验中学2009届高三第四次月考)已知函数的图象都相切，且l与函数图象的切点的横坐标为1,求直线l的方程及a的值；解由，故直线l的斜率为1，切点为即（1，0） 又 即 比较和的
11、系数得 综合拔高训练6. 对于三次函数，定义：设是函数的导函数的导数，若有实数解，则称点为函数的“拐点”。现已知,请解答下列问题:（1）求函数的“拐点”A的坐标;（2）求证的图象关于“拐点”A 对称;并写出对于任意的三次函数都成立的有关“拐点”的一个结论（此结论不要求证明）.解析（1），.令得 ， .拐点（2）设是图象上任意一点，则，因为关于的对称点为，把代入得左边,右边右边=右边在图象上关于A对称7.已知定义在正实数集上的函数，其中。设两曲线有公共点，且在公共点处的切线相同。（1）若，求的值；（2）用表示，并求的最大值。解：（1）设与在公共点处的切线相同由题意知，由得，或（舍去）即有（2）设
12、与在公共点处的切线相同由题意知，由得，或（舍去）即有令，则，于是当，即时，；当，即时，故在的最大值为，故的最大值为8. 设三次函数在处取得极值，其图象在处的切线的斜率为。求证：；解：()方法一、 .由题设，得 ，。由代入得，得或 将代入中，得 由、得；方法二、同上可得：将（1）变为：代入（2）可得：，所以，则方法三：同上可得：将（1）变为：代入（2）可得：，显然，所以因为图象的开口向下，且有一根为x1=1由韦达定理得,所以，即，则，由得：所以：第2讲 导数在研究函数中的应用 知 识 梳理 1. 函数的单调性与导数的关系一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内 ；如果，那么函数在这个区间内 .解析：单调递增；单调递减2. 判别f(x0)是极大、极小值的方法若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的 ，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是 解析：极大值点；极小值.3解题规律技巧妙法总结: 求函数的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f(x) .(2)求方程f(x)=0的根.(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在
