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1、第五章 方差分析与正交设计1单因素方差分析在实际问题中，人们常常需要在不同的条件或不同的状态下，对所研究的对象进行比照试验，从而得到假设干组数据样本。方差分析就是一种分析、处理多组试验数据均值间差异显著性的统计分析方法。其主要任务是通过对数据的分析处理，搞清各试验条件以及它们所处的状态对试验结果又称试验指标的影响，以便有效地指导实践，提高经济效益或科研水平。1.1 根本概念例1 某灯泡厂用四种不同材料的灯丝生产了四批灯泡，除灯丝材料不同外，其他生产条件完全相同。今由每批灯泡中随机地抽取假设干个灯泡，测得使用寿命单位：h数据如表1所示，现在要求推断出灯泡使用寿命是否因灯丝材料不同而有显著差异。表
2、1灯泡寿命灯丝12345678A1A2A3A416001500164015101610164015501520165014001600153016801700162015701700175016401640170016001680178017401800如果在一项试验中，只有一个因素变化，其他因素保持不变，我们称这种试验为单因素试验。因素所处的状态称为水平。本例考虑的是一个因素即灯丝，这个因素具有四个水平，即四个不同材料的灯丝，A1, A2, A3, A4。从表中的数据看到，即使对于同一种材料的灯丝，虽然生产条件都一样，但灯泡的使用寿命还是可以不相等的，这说明灯泡的使用寿命是一随机变量。现在用
3、,表示四种材料的灯丝所生产的灯泡的使用寿命，这样就有四个总体。假设从这四个总体中分别随机地抽取容量为的样本,，, 1,2,3,4，我们应用这四个样本来推断四个总体之间有无显著差异。要判断不同灯丝材料的灯泡对使用寿命的影响问题，就是要区分使用寿命之间的差异是主要由抽样误差造成的还是由灯丝材料不同造成的。这一问题可以归结为判断四个总体是否具有相同的分布。另外，在方差分析中，总是假定各总体相互独立，且都服从正态分布。由于除因素外，试验的其他条件都认为相同，这样就可以假设每个总体的方差相同。因此推断四个总体是否具有相同分布的问题，就归结为检验四个具有相同方差的正态总体，其均值是否相等的问题。实际上，方
4、差分析就是检验假设干个具有相同方差相互独立的正态总体，它们的均值是否相等的一种统计分析方法。前几章中我们曾介绍了检验两个正态总体均值间差异显著性的检验法。现在对多个正态总体，我们能否仍用检验法两两进行检验呢？结论是否认的。设想有十组数据，客观上它们来自同一正态总体，因而有相同的均值。在这种情况下，任取两组数据采用检验法检验其均值是否相等。设=0.05，那么接受假设认为两组均值相等的概率为1=0.95。但从十组数据中任取两组，共有=45种不同的取法，所以接受的概率为(0.95)450.099。客观上十组数据均值相等，而采用检验法两两检验时，犯第一类错误认为至少有两组均值不等的概率为0.901。由
5、此可见，当组数增多时，采用检验法两两检验时，犯第一类错误的概率将大大增加，使我们判断的结果很不可靠。波兰数学家R.A.Fisher(1923)提出的方差分析法，可同时判断多组数据均值间差异的显著性。下面给出单因数方差分析的一般概念。设有个相互独立的正态总体, 1,2, ,。设,，是从第个总体中抽取的容量为的简单随机样本。由于1,2, ；1,2, ，与的差可以看成是一个随机误差。因此满足=+， 1而，且互相独立，其中1,2, ；1,2, 。要求检验假设= =。1.2 统计分析下面构造检验假设= =用的统计量。记, =。 2这是第个总体的样本均值，也叫做组平均值。称= 3为总平均值。是从个总体抽得
6、的样本的总容量。由2，3两式可得=0。 由此得到=+。 4其中=，=。是所有观察资料与总平均值的差的平方和，称为总偏差平方和。它是描述所得全部数据离散程度的一个指标。由上式知，总偏差平方和可以分解为、两项之和。我们再来看、的意义。记 5是各均值的平均，叫做均值的总平均。令=，1,2, 。它是各总体的均值与理论总均值的差异。称为因素的第个水平的效应。易知个效应满足关系式=0。当假设= =成立时，由5式可得= =，从而=01,2, 。故假设也可写为= =0。式1用水平的效应表示，可以写成=+=+1,2, ；1,2, 此时=+=+。其中=是第个总体样本误差的平均，又=+=+=+。其中=表示所有样本误
7、差的平均，从而有=+2=2。=+2=+2。由这两式可以看出，仅依赖于随机误差，除与随机误差有关外，还与各水平间的效应=有关。这就是引起波动的两个原因：一个纯粹是由随机误差引起的，另一个在一定程度上是由各总体均值之间的差异引起的。如何构造检验统计量呢？这可以从,的数学期望得到启发，因为(1)，所以=1=。=+。记，。那么有，+。由此可见，不管对的假设如何，是的一个无偏估计，而仅当假设= =成立时，它才是的一个无偏估计，否那么它的期望值要大于。这说明比值，在假设不成立时，有偏大倾向。下面讨论的分布。当成立时，= =，此时，。于是由4式有=+2=+。对于，它有个线性关系， 1,2, ，所以它的秩为。
8、对于，它含有一个线性关系=0，所以它的秩为。对于，其秩为1。由于+1=，故由Cochran定理知，当假设成立时，和相互独立，且，由此知。给定显著性水平，由分布的分位数知=。当的观察值时，拒绝假设，否那么认为试验结果与假设无显著差异。为应用方便起见，将上面讨论中所需的结果列成方差分析表，如表2。例2 检验例1 的四种灯丝材料对灯泡使用寿命是否有显著影响=0.05。解=7+5+8+6=26，计算得=44360.7, =151350.8=14786.9，=6879.58，=2.15。把计算结果整理列成下面的方差分析表表3 。表2方差来源平方和自由度均方和值因素的影响=误差=总和=表3方差来源平方和自
9、由度均方和值因素的影响=44360.7=314786.92.15误差=151350.8=226879.58总和=195711.5=257828.46这里的自由度为3,22，假设给定显著性水平=0.05，查得临界值(3,22)=3.05。因为=2.153.05=(3,22)，故应接受，即认为四种灯丝生产的灯泡其平均使用寿命之间没有显著的差异。2双因素方差分析在实际问题中，影响试验结果试验指标的因素往往都不止一个，而是两个或更多。此时，要分析因素的作用，就要用到多因素试验的方差分析。这里只讨论两个因素的方差分析。至于更多因素的问题，用正交试验法比拟方便。在两个因素的试验中，不但每一个因素单独对试验
10、起作用，往往两个因素会联合起来起作用。这种作用叫做这两个因素的交互作用。例如，有些合金，当单独参加元素A或元素B时，性能变化不大，但当两者同时参加时，合金性能的变化就特别显著。交互作用在多因素的方差分析中把它当成一个新因素来处理。2.1 不考虑交互作用的方差分析设因素有个不同的水平, ；因素有个不同水平, 。对每种情况,进行一次独立试验，共得个试验结果1,2, ；1,2, ，如表1所示。表1因素因素平均值平均值其中=，1,2, ，=，1,2, ，=。设是相互独立的服从正态分布的随机变量，即是从服从正态分布的总体中抽得的样本。由于认为,两个因素间不存在交互作用，故假定其均值=+，1,2, ；1,
11、2, ，其中=。为因素的第个水平的效应，它表示因素的各个水平的影响的大小。为因素的第个水平的效应，它表示因素的各个水平的影响的大小。记=，1,2, ，=，1,2, ，=，1,2, ，=，1,2, ，那么显然有=0，=0，这样，无交互作用的方差分析模型为=+，1,2, ；1,2, ， 1=0，=0，iid,。符号“iid表示独立同分布，因此要判断因素的影响是否显著，就等价于要检验假设= =0。要判断因素的影响是否显著，就等价于要检验假设= =0。下面来寻找检验统计量。和前面类似，将总偏差平方和进行分解：=+=+。其中=，=。由式1=+知=+=+=+，1,2, 。 2其中=。同理=+，1,2, ，
12、 3其中=。又=+=+， 4其中=为所有样本误差的平均。将 2，3，4，三式代入上面,的表示式中得=+2=+2，=+2。由此可知，反映了误差引起的波动，除与误差有关外，还反映了因素各水平效应间的差异，除与误差有关外，还反映了因素各水平效应间的差异。还可以求得+，+，。记，那么+，+，。与单因素方差分析类似，可采用下面统计量：=，=。当假设不成立时，偏大，故可用来检验假设；当假设不成立时，偏大，故可用来检验假设。再讨论统计量,的分布。当假设和成立时，有=，此时一切，于是=+=+，其中, , , 都是非负二次型。=，包含一个线性关系=0，故的秩为。=，包含一个线性关系=0，故的秩为。=，包含个线性关系=0，1,2, 和=0，1,2, ，由于=0，故上面个线性关系中，只有个是独立的，因而的秩为=。又的秩是1。而以上各项的秩相加得+1=。由Cochran定理知，当及同时成立时，,相互独立，且，, ()。从而当,为真时=，=，。将上面的结果列成方差分析表表2所示。表2方差来源平方和自由度均方和值的影响=
