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1、定义4.5.1定义4.5.3作业本节重点：掌握道路连通的概念、性质。掌握连通、局部连通、道路连通之间的联系与区别。掌握道路连通分支的概念。掌握Rn子集的连通性质。4.5道路连通空间较之于连通空间的概念，道路连通空间这个概念似觉更符合我们的直觉因而易于理解 些.我们先定义“道路”.定义4.5.1设X是一个拓扑空间.从单位闭区间0,1X的每一个连续映射f:0, 1一X叫做X中的一条道路，并且此时f(0)和f(1)分别称为道路f的起点和终点.当x = f (0)和y = f (1)时，称f是X中从x到y的一条道路.起点和终点相同的道路称为闭路， 并且这时，它的起点(也是它的终点)称为闭路的基点.如果
2、f是X中的一条道路，则道路f的象集f(0，l)称为X中的一条曲线或弧，并且 这时道路f的起点和终点也分别称为曲线f(0,1)的起点和终点.或许应当提醒读者，“道路”这个词在这里所表达的意思已经与我们对它原有的理解颇 有不同，希望读者不要因此而混淆了我们在这里严格定义的道路和曲线这两个不同的概念.定义4.5.2设X是一个拓扑空间.如果对于任何x，y，存在着X中的一条从x到y 的道路(或曲线)，我们则称X是一个道路连通空间.X中的一个子集Y称为X中的一个道 路连通子集，如果它作为X的子空间是一个道路连通空间.(Y是否道路连通与X是否道路 连通没有关系)实数空间R是道路连通的.这是因为如果x，yER
3、，则连续映射f:0，1 一R定义为对 于任何t0,1 有f(t)=x+t(y-x)，便是R中%勺一条中子集点以连通终性的道路、也容易 验证任何一个区间都是道路连通的.定理4.5.1如果拓扑空间X是一个道路连通空间，则X必然是一个连通空间.证明 对于任何x,yEX，由于X道路连通，故存在从x到y的一条道路f:0,lX 这时曲线f(0,1)，作为连通空间0，1在连续映射下的象，是X中的一个连通子集， 并且我们有x，yEf(0，1).因此根据定理4.1.7可见X是一个连通空间.连通空间可以不是道路连通的.我们已经指出例4. 4. 1中的*是一个连通空间.不 难证明(留作习题，见习题第3题)它不是道路
4、连通的.道路连通与局部连通之间更没有必然的蕴涵关系、例如离散空间都是局部连通的，然而 包含着多于两个点的离散空间不是连通空间，当然也就不是道路连通空间了.定理4.5.2设X和Y是两个拓扑空间，其中X是道路连通的，f:X-Y是一个连续 映射.则f (X)是道路连通的.证明设光*刁(孙诳疟*拭.3=光(知、广光.由于x是道路连通的，故X中有从*到的一条道路g： 0，1-X .易见，映射h： 0，1-f(X)，定义为对于任意tE0, 1有h (t) =fg (t)，是f (X)中从巧到此的一条道路.这证明f (X)是道 路连通的.根据定理4.5.2可见，空间的道路连通性是一个拓扑不变性质，也是一个可
5、商性质.定理4.5.3设芍，无广尤是nN1个道路连通空间.则积空间 时 也是道路连通空间.证明我们只需要对n=2的情形加以证明.设x =(勺=(巧必止芍x也对于i=l，2,由于是是道路连通空间，故在备 中有从无到M的一条道路丈：0，1一备.定义映射f： 0，1一芍“花，使得对于任 何t0, l有f (t) = (O, W) .容易验证(应用定理3. 2.7) f是连续的，并且 有f(0)=x,f(1)=y.这也就是说f是中从x到y的一条道路.这证明 趴 F 是 一个道路连通空间.作为定理4.5.3的一个直接的推论立即可见:n维欧氏空间或”是一个道路连通空间.(这 个结论也容易直接验证.)为了今
6、后的需要我们证明以下引理，定理4.5.4粘结引理设A和B是拓扑空间X中的两个开集（闭集），并且有X =AUB.又设Y是一个拓扑空间，片：Af Y和，：Bf Y是两个连续映射，满足条件:成Za 成e定义映射f：XfY使得对于任何xX,f（x）=1E xwB则f是一个连续映射.证明 首先注意，由于了1成/，康映射f的定义是确切的.因为当xGAnB 时，有”对=心.其次，我们有：对于Y的任何一个子集Z有这是由于尸0）=尸站方*）=尸（Z）P现在设U是Y的一个开集.由于都连续，所以打拦分别是A和B的 开集.然而A和B都是X的开集，所以了/（），（”）也都是x的开集.因此 广）=打5皿皿是X的一个开集.
7、这便证明了 f是一个连续映射.当A和B都是X的闭集时，证明是完全类似的.我们现在按建立连通分支概念完全类似的方式建立道路连通分支的概念.定义4.5.3设X是一个拓扑空间，x,yEX.如果X中有一条从x到y的道路，我们 则称点x和y是道路连通的（注意:是“点”道路连通）根据定义可见，如果x，y，z都是拓扑空间X中的点，则（1）x和x道路连通；（因为取常值的映射f: 0，1fX（它必然是连续的）便是一 条从x到x的道路.）(2) 如果x和y连通，则y和x也连通；(设f:0,1-X是X中从x到y的一条道路.定 义映射j： 0,lX,使得对于任何tE0, l有j (t)=f (1-t) .容易验证j是
8、一条 从y到x的道路.)(3) 如果x和y连通，并且y和z连通，则x和z连通.(设了】知0,1-X分别 是X中从x到y和从y到z的道路.定义映射f:0,1-X使得对于任何tE0, l,知由-1)提1应用粘结引理立即可见f是连续的，此外我们有f (0) = (0)=x和f(1) 二刀(1)=z.因 此f是从x到z的一条道路.)以上结论归结为：拓扑空间中点的道路连通关系是一个等价关系.定义4.5.4设X是一个拓扑空间.对于X中的点的道路连通关系而言的每一个等价类 称为拓扑空间X的一个道路连通分支.如果Y是拓扑空间X的一个子集.Y作为X的子空间的每一个道路连通分支称为X的子 集Y的一个道路连通分支.
9、拓扑空间的每一个道路连通分支都不是空集；X的不同的道路连通分支无交；以 及X的所有道路连通分支之并便是X本身.此外，x,yEX属于X的同一个道路连通分支当 且仅当x和y道路连通.拓扑空间X的子集A中的两个点x和y属于A的同一个道路连通分支的充分必要条件是 A中有一条从x到y的道路.根据定义易见，拓扑空间中每一个道路连通分支都是一个道路连通子集；根据定理 4.5.1,它也是一个连通子集；又根据定理4. 3. 1,它必然包含在某一个连通分支之中.作为定理4.5.1在某种特定情形下的一个逆命题，我们有下述定理：定理4.5.5 n维欧氏空间衣”的任何一个连通开集都是道路连通的.证明首先我们注意n维欧氏
10、空间成”中的任何一个球形邻域都是道路连通的，这是因为 它同胚于n维欧氏空间成本身.其次证明n维欧氏空间衣*的任何一个开集的任何一个道路连通分支都是一个开集：设U是成”的一个开集，C是U的一个道路连通分支.设xEC.因为U是一个包含x的开集，所以也包含着以x为中心的某一个球形邻域B (x, ).由于球形邻域B(x, )是道路连通 的，并且B (x, ) AC包含着x,故非空，这导致B (x, )匚C.所以C是一个开集.最后，设V是攻”的一个连通开集.如果V= ,则没有什么要证明的.下设V . V 是它的所有道路连通分支的无交并，根据前一段中的结论，每一个道路连通分支都是开集.因 此如果V有多于一
11、个道路连通分支，易见这时V可以表示为两个无交的非空开集之并，因此 V是不连通的，这与假设矛盾.因此V只可能有一个道路连通分支，也就是说V是道路连通 的.推论4.5.6 n维欧氏空间成”中任何开集的每一个道路连通分支同时也是它的一个 连通分支.证明 由于n维欧氏空间成”是一个局部连通空间，根据定理4. 4. 1,它的任何开集的任何连通分支都是开集.根据定理4.5.5，成”的任何开集的任何连通分支都是道路连通 的，因此包含于这个开集的某一个道路连通分支之中.另一方面.任何一个集合的道路连通 分支，由于它是连通的，因此包含于这个集合的某一个连通分支之中，本推论的结论成立.通过引进局部道路连通的概念，
12、定理4.5.5和推论4.5.6的结论可以得到推广.(参见 习题5.)作业：P132 1. 2.本章总结：(1) 有关连通、局部连通、道路连通均为某个集合的概念，与这个集合的母空间是否 连通、局部连通、道路连通无关.(2) 掌握连通、局部连通、道路连通这三者之间的关系.(3) 记住成中的哪些子集是连通、局部连通、道路连通的.(4) 连通、局部连通、道路连通分支是一个分类原则，即每个集合都是若干个某某分 支的并，任两个不同的分支无交，每个分支非空.若两个分支有交，则必是同一个分支.(5) 连通是本章的重点.(6) 掌握证明连通、不连通及道路连通的方法.特别注意反证法.(7) 掌握连通性、局部连通性、道路连通是否是连续映射所保持的、有限可积的、可 遗传的.
