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1、25题解析一、例题赏析（2013）25.（本题满分12分）问题探究（1） 请在图中作出两条直线，使它们将圆面四等分；（2） 如图，M是正方形ABCD内一定点，请在图中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M），使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由.问题解决（3）如图，在四边形ABCD中，ABCD，AB+CD=BC，点P是AD的中点.如果AB=，CD=，且，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由.25（2012陕西省12分）如图，正三角形ABC的边长为（1）如图，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，
2、顶点N在边AC上在正三角形ABC及其内部，以A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形，且使正方形的面积最大（不要求写作法）；（2）求（1）中作出的正方形的边长；（3）如图，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由【答案】解：（1）如图，正方形即为所求。 （2）设正方形的边长为x ABC为正三角形，。 。，即。 （3）如图，连接NE，EP，PN，则。 设正方形DEMN和正方形EFPH的边长分别为m、n（mn）， 它们的面积和为S，则，。 . 。 延长PH交ND于点G，则PGND。
3、 在中，。 ，即. 。 当时，即时，S最小。 。 当最大时，S最大，即当m最大且n最小时，S最大。 ，由（2）知，。 。 。【考点】位似变换，等边三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质。【分析】（1）利用位似图形的性质，作出正方形EFPN的位似正方形EFPN，如答图所示。（2）根据正三角形、正方形、直角三角形相关线段之间的关系，利用等式EF+AE+BF=AB，列方程求得正方形EFPN的边长 （3）设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n（mn），求得面积和的表达式为：，可见S的大小只与m、n的差有关：当m=n时，S取得最小值；当m最大而n最小时，S取得最大值m最大n最小的情形见第
4、（1）（2）问。25、（2011陕西）如图，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的三角形BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕BEF”是一个等腰三角形（2）如图、在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，当它的“折痕BEF”的顶点E位于AD的中点时，画出这个“折痕BEF”，并求出点F的坐标；（3）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，该矩形是否存在面积最大的“折痕BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标？若不存在
5、，为什么？考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理；矩形的性质；正方形的性质。专题：数形结合；分类讨论。分析：（1）由图形结合线段垂直平分线的性质即可解答；（2）由折叠性质可知，折痕垂直平分BE，求出AB、AE的长，判断出四边形ABFE为正方形，求得F点坐标；（3）矩形ABCD存在面积最大的折痕三角形BEF，其面积为4，当F在边CD上时，SBEFS矩形ABCD，即当F与C重合时，面积最大为4；当F在边CD上时，过F作FHBC交AB于点H，交BE于K，再根据三角形的面积公式即可求解；再根据此两种情况利用勾股定理即可求出AE的长，进而求出E点坐标解答：解：（1）等腰（2）如图，连接BE，画BE的中垂线
6、交BC与点F，连接EF，BEF是矩形ABCD的一个折痕三角形折痕垂直平分BE，AB=AE=2，点A在BE的中垂线上，即折痕经过点A四边形ABFE为正方形BF=AB=2，F（2，0）（3）矩形ABCD存在面积最大的折痕三角形BEF，其面积为4，理由如下：当F在边BC上时，如图所示SBEFS矩形ABCD，即当F与C重合时，面积最大为4当F在边CD上时，如图所示，过F作FHBC交AB于点H，交BE于KSEKF=KFAHHFAH=S矩形AHFD，SBKF=KFBHHFBH=S矩形BCFH，SBEFS矩形ABCD=4即当F为CD中点时，BEF面积最大为4下面求面积最大时，点E的坐标当F与点C重合时，如图
7、所示由折叠可知CE=CB=4，在RtCDE中，ED=2AE=42 E（42，2）当F在边DC的中点时，点E与点A重合，如图所示此时E（0，2）综上所述，折痕BEF的最大面积为4时，点E的坐标为E（0，2）或E（42，2）点评：本题考查的是图形的翻折变换，涉及到矩形及正方形的性质，难度较大，在解答此题时要利用数形结合的思想进行分类讨论25（12分）（2010陕西）问题探究：（1）请你在图中做一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；（2）如图点M是矩形ABCD内一点，请你在图中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分问题解决：（3）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OBC
8、D是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DCOB，OB=6，CD=BC=4开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P（4，2）处为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的两部分，你认为直线l是否存在？若存在，求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由考点：直角梯形；待定系数法求一次函数解析式；矩形的性质2867872专题：综合题；压轴题分析：（1）矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分（2）连接AC，BD中心点位P，过P点的直线分矩形为相等的两部分（3）假如存在，过点D的直线只要作DAOB与点A，求出P点的坐标
9、，设直线PH的表达式为y=kx+b，解出点H的坐标，求出斜率k和b若k和b存在，直线就存在解答：解：（1）如图（2）如图连接AC、BD交于P则P为矩形对称中心作直线MP，直线MP即为所求（3）如图存在直线l，过点D的直线作DAOB于点A，则点P（4，2）为矩形ABCD的对称中心，过点P的直线只要平分DOA的面积即可，易知，在OD边上必存在点H使得PH将DOA面积平分从而，直线PH平分梯形OBCD的面积，即直线PH为所求直线l设直线PH的表达式为y=kx+b且点P（4，2），2=4k+b即b=24k，y=kx+24k，直线OD的表达式为y=2x，解之点H的坐标为（x=，y=）把x=2代入直线PH
10、的解析式y=kx+24k，得y=22k，PH与线段AD的交点F（2，22k），022k4，1k1SDHF=（42+2k）（2）=24，解之，得k=（k=舍去）b=82，直线l的表达式为y=点评：本题主要考查矩形的性质，前两问还是比较容易，但是最后一问比较麻烦，容易出错，做的时候要认真25、（2009陕西）问题探究（1）在图的半径为R的半圆O内（含弧），画出一边落在直径MN上的面积最大的正三角形，并求出这个正三角形的面积？（2）在图的半径为R的半圆O内（含弧），画出一边落在直径MN上的面积最大的正方形，并求出这个正方形的面积？问题解决（3）如图，现有一块半径R=6的半圆形钢板，是否可以裁出一边落
11、在MN上的面积最大的矩形？若存在，请说明理由，并求出这个矩形的面积；若不存在，说明理由？分析：（1）如图，ACB为满足条件的面积最大的正三角形连接OC，则OCAB，根据垂径定理得到AB=2OB，然后利用含30的直角三角形三边的关系求出OB，再利用三角形的面积公式计算即可；（2）如图，正方形ABCD为满足条件的面积最大的正方形连接OA令OB=a，则AB=2a，利用勾股定理求出边长，再利用正方形的面积公式计算即可；（3）如图，先作一边落在直径MN上的矩形ABCD，使点A、D在弧MN上，再作半圆O及矩形ABCD关于直径MN所在直线的对称图形，A、D的对称点分别是A、D连接AD、OD，则AD为O的直径
12、在RtAAD中，当OAAD时，SAAD的面积最大解答：解：（1）如图，ACB为满足条件的面积最大的正三角形连接OC，则OCABAB=2OBtan30=R，SACB=（2）如图，正方形ABCD为满足条件的面积最大的正方形连接OA令OB=a，则AB=2a在RtABO中，a2+（2a）2=R2即S正方形ABCD=（2a）2=（3）存在如图，先作一边落在直径MN上的矩形ABCD，使点A、D在弧MN上，再作半圆O及矩形ABCD关于直径MN所在直线的对称图形，A、D的对称点分别是A、D连接AD、OD，则AD为O的直径S正方形ABCD=ABAD=SAAD在RtAAD中，当OAAD时，SAAD的面积最大S矩形
13、ABCD最大=点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧也考查了等边三角形和正方形的性质以及勾股定理25、（2008本题满分12分）某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处。如图，甲、乙两村坐落在夹角为30的两条公路的AB段和CD段（村子和公路的宽均不计），点M表示这所中学。点B在点M的北偏西30的3km处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西60的km处。为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；方案二：供水站建在乙村（线段CD某处），甲村要求管道铺设到A处，请你在图中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村（线段AB某处），请你在图中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值。综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？北东D30ABCMOEF图乙村D30ABCM
