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1、 课时规范练24平面向量应用举例一、选择题1.已知三个力f1=(-2,-1),f2=(-3,2),f3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,再加上一个力f4,则f4等于()A.(-1,-2)B.(1,-2)C.(-1,2)D.(1,2)答案:D2.已知m=(-5,3),n=(-1,2),当(m+n)(2n+m)时,实数的值为()A.B.-C.-D.答案:C解析:由已知得|m|=,|n|=,mn=11.(m+n)(2n+m),(m+n)(2n+m)=m2+(2+1)mn+2n2=0,即34+(2+1)11+25=0,解得=-.3.已知向量a=(cos ,sin ),向量b=(,
2、-1),则|2a-b|的最大值和最小值分别是()A.4,0B.4,2C.16,0D.4,0答案:D解析:由于|2a-b|2=4|a|2+|b|2-4ab=8-4(cos -sin )=8-8cos,易知08-8cos16,故|2a-b|的最大值和最小值分别为4和0.4.已知平面上三点A,B,C满足|=6,|=8,|=10,则的值等于()A.100B.96C.-100D.-96答案:C解析:|=6,|=8,|=10,62+82=102,ABC为直角三角形,即=0.()=-|2=-100.5.在ABC中,有如下命题,其中正确的是();=0;若()()=0,则ABC为等腰三角形;若0,则ABC为锐角
3、三角形.A.B.C.D.答案:C解析:中应为;中0可化为0,于是有cos A=,sin A=.又因为SABC=bcsin A=bc,所以bc=3,=bccos(-A)=-bccos A=-3=-1.10.设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m).若(a+c)b,则|a|=.答案:解析:a+c=(3,3m),由(a+c)b,可得(a+c)b=0,即3(m+1)+3m=0,解得m=-,则a=(1,-1),故|a|=.11.已知直角梯形ABCD中,ADBC,ADC=90,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为.答案:5解析:以D为原点,分别以DA,DC所在直线
4、为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设DC=a,DP=x.D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,x),=(2,-x),=(1,a-x),+3=(5,3a-4x),|+3|2=25+(3a-4x)225,|+3|的最小值为5.三、解答题12.已知非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=|a|,求a+b与a-b的夹角.解:将|a+b|=|a-b|两边同时平方得ab=0;将|a-b|=|a|两边同时平方得:b2=a2.所以cos=.所以=60.13.在ABC中,A=120.(1)若三边长构成公差为4的等差数列,求ABC的面积.(2)已知AD是ABC的中线,若=-2,求
5、|的最小值.来源:解:(1)因为A=120,设三边长为a,a-4,a-8,由余弦定理得a2=(a-4)2+(a-8)2-2(a-4)(a-8)cos 120,即a2-18a+56=0,所以a=14,a=4(舍),SABC=ABACsin A=106=15.(2)因为=|cos A=-2,所以|=4.因为),所以|2=(|2+|2+2)=(|2+|2-4)(2|-4)=(24-4)=1.所以|21(当且仅当|AB|=|AC|=2时等号成立).所以|min=1.14.已知A,B,C的坐标分别为A(3,0),B(0,3),C(cos ,sin ),.(1)若|=|,求角的值;(2)若=-1,求的值.
6、解:(1)=(cos -3,sin ),=(cos ,sin -3),=(cos -3)2+sin2=10-6cos ,=cos2+(sin -3)2=10-6sin .由|=|,可得,即10-6cos =10-6sin ,得sin =cos .又,=.(2)由=-1,得(cos -3)cos +sin (sin -3)=-1,sin +cos =.又=2sin cos .由式两边分别平方,得1+2sin cos =,2sin cos =-,=-.来源:15.已知ABC的角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量m=(a,b),n=(sin B,sin A),p=(b-2,a-2).(1)若
7、mn,求证:ABC为等腰三角形;(2)若mp,边长c=2,角C=,求ABC的面积.(1)证明:mn,asin A=bsin B,即a=b,其中R是三角形ABC外接圆半径,a=b,ABC为等腰三角形.(2)解:由题意可知mp=0,即a(b-2)+b(a-2)=0,a+b=ab.由余弦定理可知,4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,即(ab)2-3ab-4=0,ab=4(舍去ab=-1),S=absin C=4sin.四、选做题1.设向量a=(cos ,sin ),b=(cos ,sin ),其中0,若|2a+b|=|a-2b|,则-=()A.B.-C.D.-答案:A解析:由|2a+b|=|
8、a-2b|得3|a|2-3|b|2+8ab=0,而|a|=|b|=1,故ab=0,cos cos +sin sin =0,来源:即cos(-)=0,由于0,故-0,-=-,即-=.2.已知平面向量,(0,)满足|=1,且与-的夹角为120,则|的取值范围是.答案:3.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(cos(A-B),sin(A-B),n=(cos B,-sin B),且mn=-.(1)求sin A的值;(2)若a=4,b=5,求角B的大小及向量方向上的投影.解:(1)由mn=-,得cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-,cos(A-B+B)=-,cos A=-.来源:0Ab,AB,B=.由余弦定理,有(4)2=52+c2-25c,c=1或c=-7(舍去).故向量方向上的投影为|cos B=ccos B=1.
